Estatística Experimental
Aula 12 | Procedimentos de Comparações Múltiplas (PCMs)
Filosofia de publicação (Selo DC)
Livro de Apoio
Usaremos Batista (2025):
Objetivo da Aula
- Discutir o problema das comparações múltiplas
- Entender o erro tipo I em testes simultâneos
- Apresentar o conceito de taxa de erro por experimento (TEE)
- Fornecer base teórica para os PCMs
Motivação
- ANOVA testa:
\[ H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k \] - Rejeição de \(H_0\) → há diferença em pelo menos um par
- Mas: quais pares diferem?
A Armadilha das Comparações Múltiplas
- Considere 4 tratamentos → \(\binom{4}{2} = 6\) pares
- Se realizarmos 6 testes t independentes a \(\alpha = 0{,}05\), qual a probabilidade de cometer pelo menos um erro tipo I?
A Armadilha das Comparações Múltiplas
A probabilidade de não cometer erro tipo I em um teste é:
\[ 1 - \alpha = 0{,}95 \]
A probabilidade de não cometer erro tipo I em nenhum dos 6 testes (supondo independência) é:
\[ (1 - \alpha)^c = 0{,}95^6 \approx 0{,}735 \]
A Armadilha das Comparações Múltiplas
- Logo, a probabilidade de cometer pelo menos um erro tipo I (isto é, o complemento) é:
\[ \text{Taxa de erro} = 1 - (1 - \alpha)^c = 1 - 0{,}95^6 \approx 1 - 0{,}735 = 0{,}265 \]
Interpretação
Ao realizar 6 testes independentes com \(\alpha = 0{,}05\), mesmo que nenhuma hipótese nula seja falsa, há 26,5% de chance de rejeitarmos pelo menos uma incorretamente.
Abordagens para Controlar a Taxa de erro
1. Ajustar o nível de significância individual:
- Exemplo: método de Bonferroni
- Simples e conservador
2. Ajustar o estatístico de teste:
- Exemplo: método de Tukey (usa distribuição da amplitude studentizada)
3. Controlar os testes por meio da TEE
- TEE: probabilidade de pelo menos um erro tipo I em \(N\) experimentos
- Quando realizamos \(N\) experimentos ao nível de significância \(\alpha\), o TEE representa:
\[ TEE = \frac{\text{Nº de exp. com pelo menos uma hipótese rejeitada indevidamente}}{\text{Número total de experimentos}} \]
Conceito de Comparações Contrastes
- Um contraste é uma combinação linear de médias:
\[ L = \sum_{i=1}^k c_i \mu_i, \quad \text{com } \sum c_i = 0 \]
- Exemplo: comparar grupos 1 e 2:
\[ L = \mu_1 - \mu_2 \]
Conceito de Comparações Contrastes
Comparações múltiplas consistem em testar múltiplos contrastes simultaneamente
Correção de Bonferroni: Base Matemática
Ajusta o nível \(\alpha\) de cada teste individual: \(\alpha^* = \frac{\alpha}{c}\)
Garante que o TEE ≤ α
Aplicável a qualquer conjunto de testes
Reduzir falsos positivos (bom)
Aumentar falsos negativos (ruim – perda de poder estatístico)
Distribuição da Amplitude Studentizada
- Usada no método de Tukey, por exemplo.
- Base: diferença máxima entre médias em relação ao erro-padrão
\[ q = \frac{\bar{Y}_{max} - \bar{Y}_{min}}{SE} \]
- Comparações simultâneas entre todas as médias
Agrupamento de Médias
- Após determinar quais pares são significativamente diferentes, grupos homogêneos podem ser formados
Agrupamento de Médias
- Por exemplo, Teste Scott-Knott:
- É um procedimento de agrupamento sequencial das médias com base em razões de verossimilhança e testes F sucessivos
- Classifica tratamentos em grupos homogêneos, maximizando a variância entre grupos e minimizando dentro de grupos
- Pode ser visto como uma análise de agrupamento baseada em hipótese estatística
Ambiguidade de resultados
Situação em que um tratamento pertence simultaneamente a dois grupos que deveriam ser diferentes entre si, gerando uma incongruência lógica na interpretação dos resultados
Ambiguidade de resultados
A ambiguidade de resultados acontece nos testes tradicionais de comparações múltiplas (como Tukey, Duncan, SNK etc.)
Exemplo
- 🔍 Exemplo típico (com letras):
| Tratamento | Média | Grupo |
|---|---|---|
| A | 10.0 | a |
| B | 10.2 | a |
| C | 10.5 | ab |
| D | 11.0 | b |
Exemplo
C está no grupo “ab”, o que indica:
- C não difere de A
- C não difere de D
Mas:
- A e D pertencem a grupos diferentes (“a” vs. “b”)
❗ Contradição: Como C pode ser igual a ambos A e D, se A e D são diferentes entre si?
Por que isso ocorre?
Isso acontece porque os testes tradicionais:
Fazem comparações par-a-par independentes;
Cada comparação não leva em conta as demais;
A lógica de transitividade não é garantida:
- \(A \approx C\) e \(C \approx D\) não implica \(A \approx D\)
Consequência prática
Dificuldade na interpretação:
- Pesquisadores ficam sem saber quantos grupos existem
- Não se sabe com clareza quem é igual a quem
Confusão em relatórios, teses e publicações
Pode levar a decisões erradas em experimentos ou ensaios
Solução
Os métodos baseados em agrupamentos sequenciais (como o Scott-Knott):
- Evitam essas ambigüidades
- Formam grupos mutuamente exclusivos
- Garantem que todos os tratamentos dentro de um grupo são semelhantes entre si
- E que todos os grupos diferem estatisticamente entre si
Resumo: Etapas para Comparações Múltiplas
- Fazer a ANOVA
- Verificar significância global
- Se significativa, definir os contrastes ou pares a comparar
- Escolher o método de controle do erro
- Aplicar as comparações e interpretar os grupos
Resumo
Não existe fundamento estatístico sólido que exija a ANOVA como pré-requisito obrigatório para testes de comparações múltiplas.
Em muitos casos, é mais informativo aplicar diretamente os testes de comparação, especialmente quando:
- O interesse está em diferenças locais e não globais
- O método de comparação já controla o erro tipo I
- O modelo não se encaixa no escopo da ANOVA clássica
Reflexão
“Comparações múltiplas são uma questão de equilíbrio: queremos detectar diferenças reais sem sermos enganados por variações aleatórias.”
Questões?
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