Estatística Experimental

Aula 16 | Análise de regressão na ANAVA

Ben Dêivide | UFSJ

Filosofia de publicação (Selo DC)

Livro de Apoio

Usaremos Batista (2025):

Objetivos da Aula

  • Relacionar ANAVA e modelos de regressão
  • Aplicar regressão linear e polinomial a dados com fator quantitativo
  • Interpretar os coeficientes do modelo
  • Avaliar a adequação do modelo por meio dos resíduos

Quando usar regressão na ANAVA?

  • Quando o fator da ANOVA é quantitativo, pode-se usar regressão para:
    • Modelar tendência da variável resposta
    • Testar significância da relação
    • Otimizar resultados (por exemplo, ponto ótimo)

Exemplo: Engenharia Civil

Um engenheiro civil testou diferentes proporções de aditivo plastificante (0%, 0.5%, 1.0%, 1.5% e 2.0%) na mistura de concreto. A resistência à compressão (em MPa) foi registrada após 28 dias.

Dados do experimento



Resistência à Compressão do Concreto por Proporção de Aditivo
DIC com 5 níveis e 3 repetições
Proporção de Aditivo (%) Repetição 1 Repetição 2 Repetição 3
0.0 24.55 24.82 26.25
0.5 28.06 28.10 29.37
1.0 32.37 30.99 31.45
1.5 32.64 33.98 33.29
2.0 31.32 31.09 30.56

Gráfico exploratório

library(ggplot2) # Anexando o pacote ggplot2

ggplot(dados, aes(x = aditivo, y = resistencia)) +
  geom_point(size = 3, color = "steelblue") +
  labs(title = "Resistência vs Aditivo Plastificante",
       x = "Proporção de Aditivo (%)",
       y = "Resistência à Compressão (MPa)") +
  theme_minimal()

Verificação da ANAVA

  • Correto
aditivo_fator <- as.factor(aditivo)
anava <- aov(resistencia ~ aditivo_fator, data = dados)
summary(anava)
              Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
aditivo_fator  4 118.92  29.729   59.86 6.01e-07 ***
Residuals     10   4.97   0.497                     
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
  • Errado
anava2 <- aov(resistencia ~ aditivo, data = dados)
summary(anava2)
            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
aditivo      1  80.29   80.29   23.94 0.000294 ***
Residuals   13  43.59    3.35                     
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Análise de Resíduo

par(mfrow=c(2,2))
plot(anava)

Análise de Resíduo

  • Normalidade
library(car)
library(nortest)
library(lmtest)

# Resíduos do modelo
residuos <- residuals(anava)

# Teste de Shapiro-Wilk (Normalidade)
shapiro.test(residuos)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  residuos
W = 0.88668, p-value = 0.05976
# Outros testes (opcional)
#ad.test(residuos)        # Anderson-Darling
#lillie.test(residuos)    # Lilliefors

Análise de Resíduo

  • Homogeneidade
# Teste de Bartlett (Homogeneidade)
bartlett.test(resistencia ~ aditivo, data = dados)

    Bartlett test of homogeneity of variances

data:  resistencia by aditivo
Bartlett's K-squared = 1.088, df = 4, p-value = 0.8962
# Teste de Levene (mais robusto)
#leveneTest(resistencia ~ aditivo, data = dados)
  • Independência
# Teste de Durbin-Watson Independência
durbinWatsonTest(anava)
 lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
   1       -0.177091      2.230554   0.528
 Alternative hypothesis: rho != 0

Regressão na ANAVA (Errado)

mod_linear <- lm(resistencia ~ aditivo, data = dados)
summary(mod_linear)

Call:
lm(formula = resistencia ~ aditivo, data = dados)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-2.6385 -1.8537 -0.1825  1.3074  2.4468 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  26.6500     0.8189  32.542 7.64e-14 ***
aditivo       3.2719     0.6687   4.893 0.000294 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.831 on 13 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6481,    Adjusted R-squared:  0.621 
F-statistic: 23.94 on 1 and 13 DF,  p-value: 0.0002936

Regressão na ANAVA (Correto)

library(ExpDes.pt)
# Anava no DIC
reganava <- dic(trat = dados$aditivo, resp = dados$resistencia,
    quali = FALSE) # Fator quantitativo
------------------------------------------------------------------------
Quadro da analise de variancia
------------------------------------------------------------------------
           GL      SQ      QM     Fc      Pr>Fc
Tratamento  4 118.917 29.7292 59.859 6.0064e-07
Residuo    10   4.967  0.4967                  
Total      14 123.884                          
------------------------------------------------------------------------
CV = 2.36 %

------------------------------------------------------------------------
Teste de normalidade dos residuos ( Shapiro-Wilk ) 
Valor-p:  0.05975596 
De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------
Teste de homogeneidade de variancia 
valor-p:  0.8961704 
De acordo com o teste de bartlett a 5% de significancia, as variancias podem ser consideradas homogeneas.
------------------------------------------------------------------------

Ajuste de modelos polinomiais de regressao
------------------------------------------------------------------------

Modelo Linear
=========================================
   Estimativa Erro.padrao   tc    valor.p
-----------------------------------------
b0  26.6500     0.3152    84.5577    0   
b1   3.2719     0.2573    12.7146    0   
-----------------------------------------

R2 do modelo linear
--------
0.675185
--------

Analise de variancia do modelo linear
======================================================
                     GL   SQ      QM      Fc   valor.p
------------------------------------------------------
Efeito linear        1  80.2909 80.2909 161.66    0   
Desvios de Regressao 3  38.6260 12.8753 25.92   5e-05 
Residuos             10 4.9666  0.4967                
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------

Modelo quadratico
=========================================
   Estimativa Erro.padrao   tc    valor.p
-----------------------------------------
b0  24.8453     0.3829    64.8827    0   
b1  10.4908     0.9072    11.5638    0   
b2  -3.6094     0.4350    -8.2980 0.00001
-----------------------------------------

R2 do modelo quadratico
--------
0.962767
--------

Analise de variancia do modelo quadratico
======================================================
                     GL   SQ      QM      Fc   valor.p
------------------------------------------------------
Efeito linear        1  80.2909 80.2909 161.66    0   
Efeito quadratico    1  34.1984 34.1984 68.86   1e-05 
Desvios de Regressao 2  4.4276  2.2138   4.46  0.0413 
Residuos             10 4.9666  0.4967                
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------

Modelo cubico
=========================================
   Estimativa Erro.padrao   tc    valor.p
-----------------------------------------
b0  25.2255     0.4040    62.4448    0   
b1   5.0406     2.0553    2.4525  0.0341 
b2   3.9955     2.6098    1.5309  0.1568 
b3  -2.5350     0.8578    -2.9553 0.0144 
-----------------------------------------

R2 do modelo cubico
--------
0.999243
--------

Analise de variancia do modelo cubico
======================================================
                     GL   SQ      QM      Fc   valor.p
------------------------------------------------------
Efeito linear        1  80.2909 80.2909 161.66    0   
Efeito quadratico    1  34.1984 34.1984 68.86   1e-05 
Efeito cubico        1  4.3376  4.3376   8.73  0.0144 
Desvios de Regressao 1  0.0900  0.0900   0.18  0.67933
Residuos             10 4.9666  0.4967                
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------

Análise de resíduo

# Analise de residuo
plotres(reganava)

Gráfico da curva ajustada

ggplot(dados, aes(x = aditivo, y = resistencia)) +
  geom_point(size = 3, color = "darkblue") +
  stat_smooth(method = "lm", formula = y ~ poly(x, 3, raw = TRUE),
              se = FALSE, color = "darkgreen") +
  labs(title = "Resistência do Concreto vs Aditivo (DIC)",
       x = "Proporção de Aditivo (%)",
       y = "Resistência (MPa)") +
  theme_minimal()

Escolha do modelo

  • Análise de Resíduos
  • Coeficiente de determinação
  • Desvio de regressão
  • Coeficiente de determinação ajustado (\(R^2_{aj}\))
  • Parcimônia do modelo
  • Significância dos estimadores do modelo

Coeficiente de determinação ajustado

\[ R^2_{ajustado} = 1 - \left( \frac{(1 - R^2)(n - 1)}{n - p - 1} \right) \]

Onde:

  • \(R^2\) é o coeficiente de determinação (não ajustado);
  • \(n\) é o número total de observações;
  • \(p\) é o número de variáveis explicativas no modelo (excluindo o intercepto).

Coeficiente de determinação ajustado

# Funcao para o R2aj
r2aj <- function(r2, n, p) {
  1 - (1 - r2) * (n - 1) / (n - p - 1)
}
# Modelo
Modelo <- 1:3
# R2
r2 <- c(reganava$reg$`R2 reta`, reganava$reg$`R2 parabola`, reganava$reg$`R2 cubica`)
# Coeficiente de determinacao ajustado
Coef.aj <- r2aj(r2, 15, Modelo)
# Resultado
data.frame(Modelo, Coef.aj, r2)
  Modelo   Coef.aj        r2
1      1 0.6501989 0.6751847
2      2 0.9565618 0.9627673
3      3 0.9990366 0.9992430

Questões?

Dúvidas e Sugestões

Contato

Próximas aulas
bendeivide.github.io/courses/estexp

Referências

ESTEXP | https://bendeivide.github.io/

BATISTA, B. D. O. PLanejamento e Análise de Experimentos. Ouro Branco, MG, Brasil: [s.n.], 2025.