Estatística Experimental

Aula 19 | Fatorial duplo

Ben Dêivide | UFSJ

Filosofia de publicação (Selo DC)

Livro de Apoio

Usaremos Batista (2025):

Objetivo da Aula

  • Apresentar o modelo experimental do esquema fatorial duplo (dois fatores)
  • Compreender as principais características do fatorial duplo
  • Discutir vantagens e desvantagens desse arranjo
  • Ilustrar aplicações nas engenharias usando o R

Introdução

  • Muitos experimentos envolvem mais de um fator que influencia a variável resposta
  • Ex: eficiência de sensores (tipo de sensor × temperatura ambiente), desgaste de peças (material × velocidade de operação)
  • O esquema fatorial duplo permite estudar simultaneamente dois fatores e sua interação

Modelo Experimental

Considere:

  • Fator A com a níveis
  • Fator B com b níveis
  • r repetições por combinação

Total de observações: \(n = a \times b \times r\)

Modelo Experimental

Modelo:

\[ Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk} \]

  • \(\mu\): média geral
  • \(\alpha_i\), \(\beta_j\): efeitos dos fatores A e B
  • \((\alpha\beta)_{ij}\): interação
  • \(\varepsilon_{ijk}\): erro aleatório

Características

  • Estudo simultâneo de dois fatores
  • Considera efeitos principais e interação
  • Pode ser aplicado com diferentes delineamentos (DIC, blocos, etc.)
  • Mais informativo e eficiente que experimentos unifatoriais

Vantagens

  • Eficiência: mais informação com menos unidades
  • Interação: revela se o efeito de um fator depende do outro
  • Compreensão sistêmica do processo estudado

Desvantagens

  • Análise mais complexa
  • Interpretação difícil quando há interação significativa
  • Pode exigir mais unidades experimentais quando os fatores têm muitos níveis

Aplicações nas Engenharias

  • Engenharia Mecatrônica
    • Fator A: Tipo de motor (A, B)
    • Fator B: Carga aplicada (5N, 10N, 15N)
    • Resposta: Tempo de posicionamento
  • Engenharia Civil
    • Fator A: Tipo de cimento (CP II, CP V)
    • Fator B: Tipo de agregado (brita 0, brita 1)
    • Resposta: Resistência à compressão
  • Engenharia de Telecomunicações
    • Fator A: Modulação (QPSK, 16-QAM)
    • Fator B: Canal (AWGN, Rayleigh)
    • Resposta: BER (Bit Error Rate)

Exemplo no R

  • Objetivo: Estudar o efeito da potência de transmissão e da largura de banda sobre a vazão de dados em um sistema de comunicação.

  • Fator A (Potência):

    • Nível 1: 10 dBm
    • Nível 2: 20 dBm

  • Fator B (Largura de banda):

    • Nível 1: 1 MHz
    • Nível 2: 5 MHz

Exemplo no R

  • Unidades experimentais: Simulação de um sistema de transmissão
  • Número de repetições: 4 para cada combinação
  • Modelo adotado: DIC com fatorial \(2^2\) (dois fatores com dois níveis cada)

Exemplo no R

   Potencia Largura Rep     Vazao
1     10dBm    1MHz   1  3.719762
2     20dBm    1MHz   1  7.884911
3     10dBm    5MHz   1  6.779354
4     20dBm    5MHz   1 12.035254
5     10dBm    1MHz   2  4.064644
6     20dBm    1MHz   2  8.857532
7     10dBm    5MHz   2  6.230458
8     20dBm    5MHz   2 11.367469
9     10dBm    1MHz   3  3.656574
10    20dBm    1MHz   3  7.777169
11    10dBm    5MHz   3  6.612041
12    20dBm    5MHz   3 12.179907
13    10dBm    1MHz   4  4.200386
14    20dBm    1MHz   4  8.055341
15    10dBm    5MHz   4  5.722079
16    20dBm    5MHz   4 12.893457

Exemplo no R: ANAVA

# Análise de variância
modelo <- aov(Vazao ~ Potencia * Largura, data = dados)
summary(modelo)
                 Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
Potencia          1 100.33  100.33  435.67 8.47e-11 ***
Largura           1  40.97   40.97  177.92 1.48e-08 ***
Potencia:Largura  1   2.40    2.40   10.43  0.00723 ** 
Residuals        12   2.76    0.23                     
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Exemplo no R: Análise de resíduos

# Analise de residuos
par(mfrow = c(2, 2))
plot(modelo)

Exemplo no R: Desdobramento da interação

Exemplo no R: Interação

  • Desdobrando o efeito da Potencia em cada nível de Largura
# Análise do efeito simples de Potência em cada nível de Largura
mpot_in_larg <- aov(Vazao ~ Largura/Potencia, data = modelo$model)
### Vazao ~ Largura + Largura:Potencia
#### Largura:Potencia - Potencia dentro de cada nivel de Largura
# Associacao aos indices
## 0: Intecepto
## 1: Coeficiente associado ao fator Largura
## 2: Coeficientes associados ao termo Largura:Potencia
mpot_in_larg$assign
[1] 0 1 2 2
# Coeficientes do modelo mpot_in_larg
coef(mpot_in_larg)
              (Intercept)               Largura5MHz Largura1MHz:Potencia20dBm 
                 3.910341                  2.425642                  4.233397 
Largura5MHz:Potencia20dBm 
                 5.783039

Exemplo no R: Desdobramento da interação (Potencia.d.Largura)

# Escolha dos indices apenas de Potencia:Largura (tem apenas dois indices)
## e nao em relacao ao total do modelo
pot_in_larg <- list("pot@1MHz" = 1,
                    "pot@5MHZ" = 2)
summary(mpot_in_larg, split = list("Largura:Potencia" = pot_in_larg))
                             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
Largura                       1  40.97   40.97   177.9 1.48e-08 ***
Largura:Potencia              2 102.73   51.37   223.0 3.23e-10 ***
  Largura:Potencia: pot@1MHz  1  35.84   35.84   155.6 3.13e-08 ***
  Largura:Potencia: pot@5MHZ  1  66.89   66.89   290.5 8.95e-10 ***
Residuals                    12   2.76    0.23                     
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Exemplo no R: Interação

  • Desdobrando o efeito da Largura em cada nível de Potencia
# Análise do efeito simples de Potência em cada nível de Largura
mlarg_in_pot <- aov(Vazao ~ Potencia/Largura, data = modelo$model)
### Vazao ~ Potencia + Potencia:Largura
#### Potencia:Largura - Largura dentro de cada nivel de Potencia
# Associacao aos indices
## 0: Intecepto
## 1: Coeficiente associado ao fator Potencia
## 2: Coeficientes associados ao termo Potencia:Largura
mlarg_in_pot$assign
[1] 0 1 2 2
# Coeficientes do modelo mpot_in_larg
coef(mlarg_in_pot)
              (Intercept)             Potencia20dBm Potencia10dBm:Largura5MHz 
                 3.910341                  4.233397                  2.425642 
Potencia20dBm:Largura5MHz 
                 3.975283

Exemplo no R: Desdobramento da interação (Largura.d.Potencia)

# Escolha dos indices apenas de Potencia:Largura (tem apenas dois indices)
## e nao em relacao ao total do modelo
larg_in_pot <- list("larg@10dBm" = 1,
                    "larg@20dBm" = 2)
summary(mlarg_in_pot, split = list("Potencia:Largura" = larg_in_pot))
                               Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
Potencia                        1 100.33  100.33  435.67 8.47e-11 ***
Potencia:Largura                2  43.37   21.69   94.17 4.62e-08 ***
  Potencia:Largura: larg@10dBm  1  11.77   11.77   51.10 1.17e-05 ***
  Potencia:Largura: larg@20dBm  1  31.61   31.61  137.25 6.32e-08 ***
Residuals                      12   2.76    0.23                     
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Exemplo no R: Usando o ExpDes.pt

library(ExpDes.pt)
# Fatorial duplo em DIC
fat2.dic(fator1 = dados$Potencia,
         fator2 = dados$Largura,
         resp = dados$Vazao,
         mcomp = "sk")
------------------------------------------------------------------------
Legenda:
FATOR 1:  F1 
FATOR 2:  F2 
------------------------------------------------------------------------


Quadro da analise de variancia
------------------------------------------------------------------------
        GL      SQ QM     Fc     Pr>Fc
F1       1 100.329  3 435.67 0.0000000
F2       1  40.972  5 177.92 0.0000000
F1*F2    1   2.401  4  10.43 0.0072298
Residuo 12   2.763  2                 
Total   15 146.466  1                 
------------------------------------------------------------------------
CV = 6.29 %

------------------------------------------------------------------------
Teste de normalidade dos residuos (Shapiro-Wilk)
valor-p:  0.8958789 
De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
------------------------------------------------------------------------



Interacao significativa: desdobrando a interacao
------------------------------------------------------------------------

Desdobrando  F1  dentro de cada nivel de  F2 
------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------
Quadro da analise de variancia
------------------------------------------------------------------------
           GL        SQ       QM       Fc Pr.Fc
F2          1  40.97184 40.97184 177.9169     0
F1:F2 1MHz  1  35.84330 35.84330 155.6466     0
F1:F2 5MHz  1  66.88707 66.88707 290.4516     0
Residuo    12   2.76344  0.23029               
Total      15 146.46565  9.76438               
------------------------------------------------------------------------



 F1  dentro do nivel  1MHz  de  F2 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos   Medias
1      a           2 8.143739
2      b           1 3.910341
------------------------------------------------------------------------


 F1  dentro do nivel  5MHz  de  F2 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos    Medias
1      a           2 12.119022
2      b           1  6.335983
------------------------------------------------------------------------



Desdobrando  F2  dentro de cada nivel de  F1 
------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------
Quadro da analise de variancia
------------------------------------------------------------------------
            GL        SQ        QM       Fc Pr.Fc
F1           1 100.32899 100.32899 435.6704     0
F2:F1 10dBm  1  11.76748  11.76748  51.0993     0
F2:F1 20dBm  1  31.60575  31.60575 137.2454     0
Residuo     12   2.76344   0.23029               
Total       15 146.46565   9.76438               
------------------------------------------------------------------------



 F2  dentro do nivel  10dBm  de  F1 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos   Medias
1      a           2 6.335983
2      b           1 3.910341
------------------------------------------------------------------------


 F2  dentro do nivel  20dBm  de  F1 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos    Medias
1      a           2 12.119022
2      b           1  8.143739
------------------------------------------------------------------------

Conclusão

  • O esquema fatorial duplo é uma ferramenta poderosa na estatística experimental
  • Permite detectar efeitos principais e interações
  • Ampla aplicação nas engenharias
  • Dominar esse modelo é fundamental para projetos experimentais eficientes

Atividade Proposta

  • Planeje um experimento com dois fatores da sua área
  • Simule dados ou use dados reais
  • Faça a análise no R
  • Interprete os efeitos principais e a interação
  • Apresente suas conclusões com base nos resultados

Referências

ESTEXP | https://bendeivide.github.io/

BATISTA, B. D. O. PLanejamento e Análise de Experimentos. Ouro Branco, MG, Brasil: [s.n.], 2025.