Estatística Experimental

Aula 20 | Fatorial triplo

Ben Dêivide | UFSJ

Filosofia de publicação (Selo DC)

Livro de Apoio

Usaremos Batista (2025):

Introdução

  • Experimentos fatoriais envolvem dois ou mais fatores estudados simultaneamente.
  • Um fatorial triplo envolve três fatores, permitindo:
    • Estudo de efeitos principais de cada fator;
    • Estudo de interações dois a dois (A×B, A×C, B×C);
    • Estudo da interação tripla (A×B×C).

Motivação

  • Otimização de processos em múltiplas condições.
  • Eficiência no uso de recursos.
  • Maior generalização dos resultados.

Estrutura de um fatorial triplo

Considere os fatores:

  • A com a níveis;
  • B com b níveis;
  • C com c níveis;
  • Com r repetições (ou blocos) por combinação.

Total de unidades experimentais: \[ N = a \times b \times c \times r \]

Modelo Estatístico (DIC)

\[ Y_{ijkl} = \mu + A_i + B_j + C_k + (AB)_{ij} + (AC)_{ik} + (BC)_{jk} + (ABC)_{ijk} + \varepsilon_{ijkl} \]

Onde:

  • \(i = 1, ..., a\), \(j = 1, ..., b\), \(k = 1, ..., c\), \(l = 1, ..., r\);
  • \(\varepsilon_{ijkl} \sim N(0, \sigma^2)\)

Tabela de ANOVA

Fonte de variação GL
Fator A ( a - 1 )
Fator B ( b - 1 )
Fator C ( c - 1 )
A × B ( (a - 1)(b - 1) )
A × C ( (a - 1)(c - 1) )
B × C ( (b - 1)(c - 1) )
A × B × C ( (a - 1)(b - 1)(c - 1) )
Erro ( abc(r - 1) )
Total ( abcr - 1 )

🔬 Exemplo: Experimento Fatorial Triplo em Telecomunicações

🎯 Objetivo:

Avaliar como modulação, largura de banda e potência do sinal influenciam a taxa de erro de bits (BER) em um sistema de comunicação digital.

Fatores estudados

Fator Símbolo Níveis
Modulação A QPSK, 16-QAM
Largura de Banda B 1 MHz, 2 MHz
Potência do Sinal C 10 dBm, 15 dBm, 20 dBm

📋 Planejamento Experimental

  • Fatorial: \(2 \times 2 \times 3\)

  • Repetições: 3 por combinação

  • Total de unidades experimentais:

    \[ N = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36 \]

Dados

Modulação Banda Potência
Repetições
Rep_1 Rep_2 Rep_3
QPSK 1MHz 10dBm 0.0018439524 0.0018769823 0.0020558708
QPSK 1MHz 15dBm 0.0012070508 0.0012129288 0.0013715065
QPSK 1MHz 20dBm 0.0025460916 0.0023734939 0.0024313147
QPSK 2MHz 10dBm 0.0012554338 0.0014224082 0.0013359814
QPSK 2MHz 15dBm 0.0031400771 0.0031110683 0.0030444159
QPSK 2MHz 20dBm 0.0024786913 0.0023497850 0.0021033383
16-QAM 1MHz 10dBm 0.0016701356 0.0015527209 0.0014932176
16-QAM 1MHz 15dBm 0.0009782025 0.0008973996 0.0009271109
16-QAM 1MHz 20dBm 0.0025374961 0.0024313307 0.0026837787
16-QAM 2MHz 10dBm 0.0015153373 0.0013861863 0.0016253815
16-QAM 2MHz 15dBm 0.0028426464 0.0027704929 0.0028895126
16-QAM 2MHz 20dBm 0.0020878133 0.0020821581 0.0020688640

Visualização gráfica

Análise

# Pacote ExpDes.pt
library(ExpDes.pt)

fat3.dic(fator1 = dados$modulacao, fator2 = dados$banda,
  fator3 = dados$potencia,
  resp = dados$ber, mcomp = "sk")
------------------------------------------------------------------------
Legenda:
FATOR 1:  F1 
FATOR 2:  F2 
FATOR 3:  F3 
------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------
Quadro da analise de variancia
------------------------------------------------------------------------
         GL    SQ QM       Fc  Pr>Fc
F1        1 0e+00  0  20.7261  1e-04
F2        1 0e+00  0 154.1265      0
F3        2 0e+00  0 177.2065      0
F1*F2     1 0e+00  0   1.6818  0.207
F1*F3     2 0e+00  0    4.873 0.0167
F2*F3     2 1e-05  0  480.313      0
F1*F2*F3  2 0e+00  0  13.8795  1e-04
Residuo  24 0e+00  0                
Total    35 2e-05                   
------------------------------------------------------------------------
CV = 5.01 %

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Teste de normalidade dos residuos (Shapiro-Wilk)
valor-p:  0.768407 
De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
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Interacao F1*F2*F3  significativa: desdobrando a interacao
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Desdobrando  F1  dentro de cada nivel de  F2 e F3 
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------------------------------------------------------------------------
Quadro da analise de variancia
------------------------------------------------------------------------
               GL           SQ           QM        Fc    Pr>Fc
F1: 1MHz 10dBm  1 1.875252e-07 1.875252e-07 18.903743 0.000218
F1: 1MHz 15dBm  1 1.629454e-07 1.629454e-07 16.425942 0.000461
F1: 1MHz 20dBm  1 1.517101e-08 1.517101e-08  1.529335 0.228178
F1: 2MHz 10dBm  1 4.387548e-08 4.387548e-08   4.42293 0.046127
F1: 2MHz 15dBm  1 1.047842e-07 1.047842e-07 10.562923 0.003401
F1: 2MHz 20dBm  1 8.003669e-08 8.003669e-08  8.068212 0.009036
Residuo        24 2.380801e-07 9.920003e-09                   
------------------------------------------------------------------------



 F1  dentro da combinacao dos niveis  1MHz  de  F2  e  10dBm  de  F3 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos      Medias
1      a        QPSK 0.001925602
2      b      16-QAM 0.001572025
------------------------------------------------------------------------


 F1  dentro da combinacao dos niveis  1MHz  de  F2  e  15dBm  de  F3 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos       Medias
1      a        QPSK 0.0012638287
2      b      16-QAM 0.0009342376
------------------------------------------------------------------------


 F1  dentro da combinacao dos niveis  1MHz  de  F2  e  20dBm  de  F3 

De acordo com o teste F, as medias desse fator sao estatisticamente iguais.
------------------------------------------------------------------------
  Niveis      Medias
1 16-QAM 0.002550868
2   QPSK 0.002450300
------------------------------------------------------------------------


 F1  dentro da combinacao dos niveis  2MHz  de  F2  e  10dBm  de  F3 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos      Medias
1      a      16-QAM 0.001508968
2      b        QPSK 0.001337941
------------------------------------------------------------------------


 F1  dentro da combinacao dos niveis  2MHz  de  F2  e  15dBm  de  F3 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos      Medias
1      a        QPSK 0.003098520
2      b      16-QAM 0.002834217
------------------------------------------------------------------------


 F1  dentro da combinacao dos niveis  2MHz  de  F2  e  20dBm  de  F3 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos      Medias
1      a        QPSK 0.002310605
2      b      16-QAM 0.002079612
------------------------------------------------------------------------



Desdobrando  F2  dentro de cada nivel de  F1 e F3 
------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------
Quadro da analise de variancia
------------------------------------------------------------------------
                 GL           SQ           QM         Fc    Pr>Fc
F2: 16-QAM 10dBm  1 5.964150e-09 5.964150e-09   0.601225 0.445685
F2: 16-QAM 15dBm  1 5.414884e-06 5.414884e-06 545.855044        0
F2: 16-QAM 20dBm  1 3.331243e-07 3.331243e-07  33.581062    6e-06
F2: QPSK 10dBm    1 5.180177e-07 5.180177e-07  52.219506        0
F2: QPSK 15dBm    1 5.049141e-06 5.049141e-06 508.985774        0
F2: QPSK 20dBm    1 2.927212e-08 2.927212e-08   2.950817 0.098712
Residuo          24 2.380801e-07 9.920003e-09                    
------------------------------------------------------------------------



 F2  dentro da combinacao dos niveis  16-QAM  de  F1  e  10dBm  de  F3 

De acordo com o teste F, as medias desse fator sao estatisticamente iguais.
------------------------------------------------------------------------
  Niveis      Medias
1   1MHz 0.001572025
2   2MHz 0.001508968
------------------------------------------------------------------------


 F2  dentro da combinacao dos niveis  16-QAM  de  F1  e  15dBm  de  F3 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos       Medias
1      a        2MHz 0.0028342173
2      b        1MHz 0.0009342376
------------------------------------------------------------------------


 F2  dentro da combinacao dos niveis  16-QAM  de  F1  e  20dBm  de  F3 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos      Medias
1      a        1MHz 0.002550868
2      b        2MHz 0.002079612
------------------------------------------------------------------------


 F2  dentro da combinacao dos niveis  QPSK  de  F1  e  10dBm  de  F3 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos      Medias
1      a        1MHz 0.001925602
2      b        2MHz 0.001337941
------------------------------------------------------------------------


 F2  dentro da combinacao dos niveis  QPSK  de  F1  e  15dBm  de  F3 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos      Medias
1      a        2MHz 0.003098520
2      b        1MHz 0.001263829
------------------------------------------------------------------------


 F2  dentro da combinacao dos niveis  QPSK  de  F1  e  20dBm  de  F3 

De acordo com o teste F, as medias desse fator sao estatisticamente iguais.
------------------------------------------------------------------------
  Niveis      Medias
1   1MHz 0.002450300
2   2MHz 0.002310605
------------------------------------------------------------------------

Desdobrando  F3  dentro de cada nivel de  F1 e F2 
------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------
Quadro da analise de variancia
------------------------------------------------------------------------
                GL           SQ           QM         Fc Pr>Fc
F3: 16-QAM 1MHz  2 3.978403e-06 1.989201e-06 200.524262     0
F3: 16-QAM 2MHz  2 2.651348e-06 1.325674e-06 133.636447     0
F3: QPSK 1MHz    2 2.120966e-06 1.060483e-06 106.903502     0
F3: QPSK 2MHz    2 4.666525e-06 2.333263e-06 235.207843     0
Residuo         24 2.380801e-07 9.920003e-09                 
------------------------------------------------------------------------



 F3  dentro da combinacao dos niveis  16-QAM  de  F1  e  1MHz  de  F2 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos       Medias
1      a       20dBm 0.0025508685
2      b       10dBm 0.0015720247
3      c       15dBm 0.0009342376
------------------------------------------------------------------------


 F3  dentro da combinacao dos niveis  16-QAM  de  F1  e  2MHz  de  F2 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos      Medias
1      a       15dBm 0.002834217
2      b       20dBm 0.002079612
3      c       10dBm 0.001508968
------------------------------------------------------------------------


 F3  dentro da combinacao dos niveis  QPSK  de  F1  e  1MHz  de  F2 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos      Medias
1      a       20dBm 0.002450300
2      b       10dBm 0.001925602
3      c       15dBm 0.001263829
------------------------------------------------------------------------


 F3  dentro da combinacao dos niveis  QPSK  de  F1  e  2MHz  de  F2 
------------------------------------------------------------------------
Teste de Scott-Knott
------------------------------------------------------------------------
  Grupos Tratamentos      Medias
1      a       15dBm 0.003098520
2      b       20dBm 0.002310605
3      c       10dBm 0.001337941
------------------------------------------------------------------------

Referências

ESTEXP | https://bendeivide.github.io/

BATISTA, B. D. O. PLanejamento e Análise de Experimentos. Ouro Branco, MG, Brasil: [s.n.], 2025.