Estatística e Probabilidade

Aula 07 - Medidas de dispersão

Ben Dêivide | UFSJ

Filosofia de publicação (Selo DC)

Livro de Apoio

Usaremos Batista (2023):

Motivação inicial

# Dados dos grupos gerados
set.seed(10); gA <- rnorm(10, mean = 10, sd = 2)
set.seed(10); gB <- rnorm(9, mean = 10, sd = 4)
gC <- c(4.706090, 4.772017, 6.404994, 7.338766, 
        7.817944, 8.372813, 8.894485, 10.112477, 
        11.767271, 20.000000)

# Media do grupo gA
(media.gA <- mean(gA))

[1] 9.018686

# gerando gB[10] e media de gB
gB[10] <- length(gA) * media.gA - sum(gB)
(media.gB <- mean(gB))

[1] 9.018686

# gerando gC[10] e media de gC
(media.gC <- mean(gC))

[1] 9.018686

Motivação inicial

# Apresentando os dados
cbind(sort(gA), sort(gB), sort(gC))

           [,1]      [,2]      [,3]
 [1,]  6.746655  3.493309  4.706090
 [2,]  7.257339  4.514678  4.772017
 [3,]  7.583848  5.167695  6.404994
 [4,]  8.801665  7.603329  7.338766
 [5,]  9.272648  8.545296  7.817944
 [6,]  9.487043  9.262990  8.372813
 [7,]  9.631495 10.074985  8.894485
 [8,] 10.037492 11.178181 10.112477
 [9,] 10.589090 11.559177 11.767271
[10,] 10.779589 18.787223 20.000000

Ideia sobre medidas de dispersão

Vamos usar o leem!

library(leem)
showpar()

Tipos de medidas de dispersão

• Amplitude
• Desvio médio
• Módulo do desvio
• Soma de quadrado dos desvios
• Variância
• Desvio padrão
• Coeficiente de variação
• Erro padrão da média

Funções leem

Função	Finalidade
amplitude()	Amplitude
mdev()	Desvio médio
madev()	Módulo do devio médio
medev()	Devio mediano
meadev()	Módulo do devio mediano
medev()	Módulo do devio mediano
sse()	Soma de quadrado dos desvios
variance()	Variância
sdev()	Desvio padrão
cv()	Coeficiente de variação
mstde()	Erro padrão da média

Exemplos: Dados não agrupados

1. Considere a distribuição de frequência do número de erros encontrados em 20 conjunto de caracteres monitorado em um canal de comunicação:

0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	2	3	3	3	3	3	4

2. Os dados representam a temperatura (°F) do anel de vedação de cada teste de acionamento ou lançamento real do motor do foguete Challenger.

31	40	45	49	52	53	57	58	58	60	61	61
63	66	67	67	67	67	68	69	70	70	70	70
72	73	75	75	76	76	78	79	80	81	83	84

Exemplos: Dados agrupados

Exemplo 1

Tabela de frequência 
Tipo de variável: discrete

  Groups Fi   Fr Fac1 Fac2 Fp Fac1p Fac2p
1      0  3 0.15    3   20 15    15   100
2      1  7 0.35   10   17 35    50    85
3      2  4 0.20   14   10 20    70    50
4      3  5 0.25   19    6 25    95    30
5      4  1 0.05   20    1  5   100     5
============================================== 
Groups: Agrupamento discretizado 
Fi: Frequência absoluta 
Fr: Frequência relativa 
Fac1: Frequência acumulada (abaixo de) 
Fac2: Frequência acumulada (acima de) 
Fp: Frequência percentual 
Fac1p: Frequência acumulada percentual (abaixo de) 
Fac2p: Frequência acumulada percentual (acima de) 

Exemplo 2

Tabela de frequência 
Tipo de variável: continuous

          Classes Fi   PM   Fr Fac1 Fac2 Fp  Fac1p  Fac2p
1 25.7 |---  36.3  1 31.0 0.03    1   36  3   2.78 100.00
2 36.3 |---  46.9  2 41.6 0.06    3   35  6   8.33  97.22
3 46.9 |---  57.5  4 52.2 0.11    7   33 11  19.44  91.67
4 57.5 |---  68.1 12 62.8 0.33   19   29 33  52.78  80.56
5 68.1 |---  78.7 12 73.4 0.33   31   17 33  86.11  47.22
6 78.7 |---  89.3  5 84.0 0.14   36    5 14 100.00  13.89

============================================== 
Classes: Agrupamento de classes 
Fi: Frequência absoluta 
PM: Ponto médio 
Fr: Frequência relativa 
Fac1: Frequência acumulada (abaixo de) 
Fac2: Frequência acumulada (acima de) 
Fp: Frequência percentual 
Fac1p: Frequência acumulada percentual (abaixo de) 
Fac2p: Frequência acumulada percentual (acima de) 

Amplitude (Dados não agrupados)

Definição (Amplitude): Seja uma amostra \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_n\), de tamanho \(n\), e em ordem crescente de magnitude temos \(X_{(1)} = \min\limits_{i}(X_i)\), \(X_{(2)}\), \(\ldots\), \(X_{(n)} = \max\limits_{i}(X_i)\), para \(i\) \(=\) \(1\), \(2\), \(\ldots\), \(n\). Então a amplitude de uma população, denotada por \(A\), é definida por: \[\begin{align} A & = X_{(n)} - X_{(1)}. \end{align}\]

Amplitude (Dados agrupados)

Definição (Amplitude): Seja uma amostra \(X_1\), \(X_2\), , \(X_n\), de tamanho \(n\), agrupados em \(k\) grupos com variáveis \(X_i\) e \(F_i\) frequências, ou \(k\) classes com pontos médios \(\tilde{X}_i\) e \(F_i\) frequências, para \(i\) \(=\) \(1\), \(2\), \(\ldots\), \(k\) e \(\sum_{i = 1}^{k}F_i = n\), então a amplitude de uma amostra, denotada por \(A\), é definida por: \[\begin{align} A & = \left\{\begin{array}{ll} X_{(k)} - X_{(1)}, & \textrm{Agrupados sem intervalo de classe}, \\ \tilde{X}_{(k)} - \tilde{X}_{(1)}, & \textrm{Agrupados com intervalo de classe},\\ \end{array}\right. \end{align}\] em que \(X_{(k)} = \max\limits_{i}(X_i)\), \(X_{(1)} = \min\limits_{i}(X_i)\), \(\tilde{X}_{(k)} = \max\limits_{i}(\tilde{X}_{i})\), \(\tilde{X}_{(1)} = \min\limits_{i}(\tilde{X}_{i})\), sendo \(\tilde{X}_{i}\) o ponto médio das classes.

Aplicação

Exemplo 1:

Dados não agrupados \[\begin{align*} A = 4 - 0 = 4~\textrm{erros}. \end{align*}\]

Dados agrupados \[\begin{align*} A = 4 - 0 = 4~\textrm{erros}. \end{align*}\]

Aplicação

Exemplo 2:

Dados não agrupados \[\begin{align*} A = 84,0 - 31,0 = 53,0~\textrm{°F}. \end{align*}\]

Dados agrupados \[\begin{align*} A = 84,0 - 31,0 = 53,0~\textrm{°F}. \end{align*}\]

OBS.: Apesar dos valores iguais, isso nem sempre ocorre!

Usando o leem

Exemplo 1: Dados não agrupados

# Dados não agrupados
d1 <- read.table("https://raw.githubusercontent.com/bendeivide/book-epaec/master/dados/cap02/tabela2.1.txt", header = TRUE)
d1 <- d1$erros
# Amplitude
d1 |> 
  new_leem(variable = 1) |> 
  amplitude(grouped = FALSE)

[1] 4

Exemplos 1: Dados agrupados

# Amplitude: Dados agrupados
d1 |> 
  new_leem(variable = 1) |> 
  amplitude(grouped = TRUE)

[1] 4

Usando o leem

Exemplo 2: Dados não agrupados

# Dados não agrupados
d2 <- read.table("https://raw.githubusercontent.com/bendeivide/book-epaec/master/dados/cap02/dados_exem2.1.txt", header = TRUE)
d2 <- d2$challenger
# Amplitude
d2 |> 
  new_leem(variable = 2) |> 
  amplitude(grouped = FALSE)

[1] 53

Exemplos 2: Dados agrupados

# Amplitude: Dados agrupados
d2 |> 
  new_leem(variable = 2) |> 
  amplitude(grouped = TRUE)

[1] 53

Retornando a motivação

Grupo	Amplitude
gA	\(A = 10,77959 - 6,746655 = 4,032934~und.\)
gB	\(A = 18,787223 - 3,493309 = 15,29391~und.\)
gC	\(A = 20 - 4,706090 = 15,29391~und.\)

Características da amplitude

• O resultado da amplitude é dado na mesma unidade da variável em estudo;
• Uma medida de dispersão facilmente calculada;
• Limitada apenas as variáveis quantitativas;
• Essa medida é muito utilizada em comparações múltiplas, cartas de controle em estatística de qualidade, dentre outras áreas;

Características da amplitude (continuação…)

• A amplitude pode ser utilizada como medida de dispersão para comparar a variabilidade de dados de dois ou mais grupos diferentes;
• A amplitude é sensível a dados discrepantes;

Características da amplitude (continuação…)

• A amplitude é limitada por levar em consideração apenas os valores extremos, e nada sobre as demais observações. Nesse caso, podem ocorrer situações como os apresentados no Exemplo de motivação, em que poderíamos erroneamente concluir que os grupos de dados e são iguais, uma vez que apresentam amplitude e média aritmética iguais;

Características da amplitude (continuação…)

• Segundo Ferreira (2009), a amplitude amostral, substima a amplitude populacional, uma vez que é pouco provável que uma amostra contenha os valores mínimo e máximo da população, portanto, a amplitude amostral é um estimador¹ viesado² e ineficiente.

1. Entendemos por estimador uma função que depende apenas dos dados amostrais e que irá representar um parâmetro (característica populacional) desconhecida.

2. Dizemos que um estimador é viesado se a esperança matemática desse estimador é diferente do parâmetro de interesse.

Propriedades da amplitude

Teorema: Baseado na Definição da amplitude amostral, e considerando \(c\) uma constante, então:

• Se para uma amostra \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_n\), a amplitude é dada por \(A_X = X_{(n)} - X_{(1)}\), então para uma transformação de \(Y_i = X_i \pm c\), para \(i\) \(=\) \(1\), \(2\), \(\ldots\), \(n\), a nova amplitude não se altera, isto é, \(A_Y = A_X\).
• Se para uma amostra \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_n\), a amplitude é dada por \(A_X = X_{(n)} - X_{(1)}\), então para uma transformação de \(Y_i = X_i \times c\), para \(i\) \(=\) \(1\), \(2\), \(\ldots\), \(n\), a nova amplitude é dada por \(A_Y = A_X \times c\). Esse resultado vale também para a transformação \(Y_i = X_i / m\), sendo \(m\) também uma constante. Basta usar \(c = 1 / m\) e o resultado é o mesmo.

Variância

Considerando uma população \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_N\) e sua respectiva amostra \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_n\), podemos considerar inicialmente o desvio médio como outra medida de dispersão, dada por:

\[\begin{align} DM_p & = \sum_{i = 1}^{N} \left(X_i - \mu \right), \quad \textrm{(Populacional)} \end{align}\] em que \(\mu = \sum_{i = 1}^{N} X_i / N\), e seu respectivo estimador é dado por:

\[\begin{align} DM & = \sum_{i = 1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right), \quad \textrm{(Amostral)} \end{align}\] em que \(\bar{X} = \sum_{i = 1}^{n} X_i / n\).

Variância

As expressões anteriores apresentam alguns problemas práticos!!!

Para isso, podemos contornar essa situação inserindo uma função modular nessa medida anterior, e criar o módulo do desvio, dada por:

\[\begin{align} S_{|\mu|} & = \sum_{i = 1}^{N} \left|X_i - \mu \right|, \quad \textrm{(Populacional)} \end{align}\] e

\[\begin{align} S_{|\bar{X}|} & = \sum_{i = 1}^{n} \left|X_i - \bar{X} \right|. \quad \textrm{(Amostral)} \end{align}\]

Variância

As expressões anteriores apresentam alguns problemas práticos!!!

Daí, surge uma outra medida de variabilidade que é a soma de quadrados, dada por: \[\begin{align}\label{eq:desvquadpop} SQ_{p} & = \sum_{i = 1}^{N} \left(X_i - \mu \right)^2, \quad \textrm{(Populacional)} \end{align}\] e \[\begin{align} SQ & = \sum_{i = 1}^{n} \left(X_i - \bar{X} \right)^2. \quad \textrm{(Amostral)} \end{align}\]

Percebemos que a soma de quadrados amostral pode ser também expressa por: \[\begin{align} SQ & = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}X_i^2 - \frac{1}{n} \left(\sum_{i = 1}^{n}X_i\right)^2, \end{align}\]

Variância

Definição (Variância populacional): Seja uma população \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_N\), de tamanho \(N\), com parâmetro conhecido \(\mu = \sum_{i = 1}^{N} X_i / N\), então a variância populacional, denotada por \(\sigma^2\), é definida por: \[\begin{align} \sigma^2 & = \frac{SQ_p}{N}, \end{align}\] em que \(SQ_p\) é dado pela expressão anterior, ou de forma similar,

\[\begin{align} \sigma^2 & = \frac{\displaystyle\sum_{i = 1}^{N}X_i^2 - \frac{1}{N} \left(\sum_{i = 1}^{N}X_i\right)^2}{N}. \end{align}\]

Intuitivamente, poderíamos pensar para a condição amostral:

\[\begin{align} \hat{\sigma}^2 & = \frac{SQ}{n}. \end{align}\]

Variância

Definição (Variância amostral): Seja uma população \(X_1\), \(X_2\), , \(X_n\), de tamanho \(n\), com \(\bar{X} = \sum_{i = 1}^{n} X_i / n\), então a variância amostral, denotada por \(S^2\), é definida como: \[\begin{align}\label{eq:varamost2} S^2 & = \frac{SQ}{n - 1}, \end{align}\] em que \(SQ\) é dado pela expressão anterior, ou de forma similar,

\[\begin{align}\label{eq:varamost3} S^2 & = \frac{\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}X_i^2 - \frac{1}{n} ~\left(\sum_{i = 1}^{n}X_i\right)^2}{n - 1}. \end{align}\]

Exemplo motivacional

• Variância amostral para o grupo gA:

\[\begin{align*} S^2_{\textrm{gA}} & = \frac{6,746655^2 + \ldots + 10,779589^2 - 1 / 10 \times \left(6,746655 + \ldots + 10,779589 \right)^2}{10 - 1}\\ & = \frac{831,0017 - 8133,67 / 10}{9}\\ & = 1,959404~und^2 \end{align*}\]

• Variância amostral para o grupo gB:

\[\begin{align*} S^2_{\textrm{gB}} & = \frac{3,493309^2 + \ldots + 18,787223^2 - 1 / 10 \times \left(3,493309 + \ldots + 18,787223 \right)^2}{10 - 1}\\ & = \frac{988,9577 - 8133,67 / 10}{9}\\ & = 19,51007~und^2 \end{align*}\]

Exemplo motivacional

• Variância amostral para o grupo gC:

\[\begin{align*} S^2_{\textrm{gC}} & = \frac{4,706090^2 + \ldots + 20,000000^2 - 1 / 10 \times \left(4,706090 + \ldots + 20,000000 \right)^2}{10 - 1}\\ & = \frac{990,8678 - 8133,67 / 10}{9}\\ & = 19,72232~und^2 \end{align*}\]

Variância (Dados agrupados)

Definição (Variância p/ dados agrupados): Seja uma amostra \(X_1\), \(X_2\), , \(X_n\), de tamanho \(n\), agrupados em \(k\) grupos com variáveis \(X_i\) e frequência \(F_i\), ou \(k\) classes com pontos médios \(\tilde{X}_i\) e \(F_i\) frequências, para \(i\) \(=\) \(1\), \(2\), \(\ldots\), \(k\) e \(\sum_{i = 1}^{k}F_i = n\), então a variância de uma amostra, denotada por \(S^2\), é definida por: \[\begin{align}\label{eq:varagrupados} S^2 & = \left\{\begin{array}{ll} \frac{\sum_{i = 1}^{k}(X_i - \bar{X})^2\times F_i}{\sum_{i = 1}^{k}F_i - 1}, & \textrm{agrupados sem intervalo de classe}, \\ &\\ \frac{\sum_{i = 1}^{k}(\tilde{X}_i - \bar{\tilde{X}})^2\times F_i}{\sum_{i = 1}^{k}F_i - 1}, & \textrm{agrupados com intervalo de classe},\\ \end{array}\right. \end{align}\] sendo \(\tilde{X}_{i}\) o ponto médio das classes, \(\bar{X} = \sum_{i = 1}^{k} X_iF_i / \sum_{i = 1}^{k}F_i\) e \(\bar{\tilde{X}} = \sum_{i = 1}^{k} \tilde{X}_iF_i / \sum_{i = 1}^{k}F_i\),

Variância (Dados agrupados)

Definição (Variância p/ dados agrupados): ou se forma similar, \[\begin{align}\label{eq:varagrupados2} S^2 & = \left\{\begin{array}{ll} \frac{\sum_{i = 1}^{k}X_i^2\times F_i - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{k} F_i}(\sum_{i = 1}^{k} X_iF_i)^2}{\sum_{i = 1}^{k}F_i - 1}, & \textrm{agrup. s/ intervalo de classe}, \\ & \\ \frac{\sum_{i = 1}^{k}\tilde{X}_i^2\times F_i - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{k} F_i}(\sum_{i = 1}^{k} \tilde{X}_iF_i)^2}{\sum_{i = 1}^{k}F_i - 1}, & \textrm{agrup. c/ intervalo de classe}. \\ \end{array}\right. \end{align}\]

Aplicação

Exemplo 1:

Tabela de frequência 
Tipo de variável: discrete

  Groups Fi   Fr Fac1 Fac2 Fp Fac1p Fac2p
1      0  3 0.15    3   20 15    15   100
2      1  7 0.35   10   17 35    50    85
3      2  4 0.20   14   10 20    70    50
4      3  5 0.25   19    6 25    95    30
5      4  1 0.05   20    1  5   100     5
============================================== 
Groups: Agrupamento discretizado 
Fi: Frequência absoluta 
Fr: Frequência relativa 
Fac1: Frequência acumulada (abaixo de) 
Fac2: Frequência acumulada (acima de) 
Fp: Frequência percentual 
Fac1p: Frequência acumulada percentual (abaixo de) 
Fac2p: Frequência acumulada percentual (acima de) 

\[\begin{align} S^2 & = \frac{0^2 \times 3 + \ldots + 4^2 \times 1 - (1/20) \times (0 \times 3 + \ldots + 4 \times 1)^2}{20 - 1}\\ & = 1,38~\textrm{unid.}^2 \end{align}\]

Aplicação

Exemplo 2:

Tabela de frequência 
Tipo de variável: continuous

          Classes Fi   PM   Fr Fac1 Fac2 Fp  Fac1p  Fac2p
1 25.7 |---  36.3  1 31.0 0.03    1   36  3   2.78 100.00
2 36.3 |---  46.9  2 41.6 0.06    3   35  6   8.33  97.22
3 46.9 |---  57.5  4 52.2 0.11    7   33 11  19.44  91.67
4 57.5 |---  68.1 12 62.8 0.33   19   29 33  52.78  80.56
5 68.1 |---  78.7 12 73.4 0.33   31   17 33  86.11  47.22
6 78.7 |---  89.3  5 84.0 0.14   36    5 14 100.00  13.89

============================================== 
Classes: Agrupamento de classes 
Fi: Frequência absoluta 
PM: Ponto médio 
Fr: Frequência relativa 
Fac1: Frequência acumulada (abaixo de) 
Fac2: Frequência acumulada (acima de) 
Fp: Frequência percentual 
Fac1p: Frequência acumulada percentual (abaixo de) 
Fac2p: Frequência acumulada percentual (acima de) 

Dados agrupados

\[\begin{align} S^2 & = \frac{31^2 \times 1 + \ldots + 84^2 \times 5 - (1/36) \times (31 \times 1 + \ldots + 84 \times 5)^2}{36 - 1}\\ & = 159,355~\textrm{unid.}^2 \end{align}\]

Dados não agrupados

\[\begin{align} S^2 & = \frac{31^2 + \ldots + 84^2 - (1/36) \times (31 + \ldots + 84)^2}{36 - 1}\\ & = 147,84~\textrm{unid.}^2 \end{align}\]

Usando o leem

Exemplo 1: Dados não agrupados

# Variancia - Dados nao agrupados
d1 |> 
  new_leem(variable = 1) |> 
  variance(grouped = FALSE)

[1] 1.38

Exemplos 1: Dados agrupados

# Variance: Dados agrupados
d1 |> 
  new_leem(variable = 1) |> 
  variance(grouped = TRUE)

[1] 1.38

Usando o leem

Exemplo 2: Dados não agrupados

# Variancia - Dados não agrupados
d2 |> 
  new_leem(variable = 2) |> 
  variance(grouped = FALSE)

[1] 147.84

Exemplos 2: Dados agrupados

# Variancia: Dados agrupados
d2 |> 
  new_leem(variable = 2) |> 
  variance(grouped = TRUE)

[1] 159.355

Características da variância

• A unidade da variância está na escala ao quadrado da unidade da variável;
• limitada apenas as variáveis quantitativas;
• a variância é sempre uma medida positiva, exceto quando todos os valores são iguais que resultam em uma variância nula;
• quanto mais próximo de zero a variância for, mas concentrado os dados estão em torno da média, ao passo que, à medida que a variância se distancia de zero, mas disperso os dados estão em torno da média;

Características da variância

• devido as suas propriedades matemáticas, algumas mencionadas anteriormente, bem como a quantidade de técnicas estatísticas que empregam essa medida, a torna como a mais conhecida dentre as medidas de dispersão;
• uma vez que a média é sensível aos dados, a variância também é sensível, uma vez que esta depende da média.

Propriedades da variância

Teorema: Baseado na Definição sobre a variância, e considerando \(c\) uma constante, então:

1. Se para uma amostra \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_n\), a variância é dada por \(S^2_X\), então para uma transformação de \(Y_i = X_i \pm c\), para \(i\) \(=\) \(1\), \(2\), \(\ldots\), \(n\), então a nova variância não se altera, isto é, \(S^2_Y = S^2_X\).

2. Se para uma amostra \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_n\), a variância é dada por \(S^2_X\), então para uma transformação de \(Y_i = X_i \times c\), para \(i\) \(=\) \(1\), \(2\), \(\ldots\), \(n\), então a nova variância é dada por \(S^2_Y = c^2\times S^2_X\). Esse resultado vale também para a transformação \(Y_i = X_i / m\), sendo \(m\) também uma constante. Basta usar \(c = 1 / m\) e o resultado é o mesmo.

Desvio padrão

• A variância apesar de ter resolvido alguns dos problemas, apresenta sua unidade ao quadrado da unidade da variável em estudo;
• isso significa que se tivermos usando uma variável na escala de comprimento, por exemplo, a dispersão dada pela variância estará na escala de área;
• torna-se difícil a percepção de dispersão quando observamos os dados.

Desvio padrão

Definição (Desvio padrão): O desvio padrão é definido por: \[\begin{align}\label{eq:desvpad1} \sigma & = \sqrt{\sigma^2}, \quad \textrm{(População)} \end{align}\] em que \(\sigma\) é apresentado anteriormente, \[\begin{align}\label{eq:desvpad2} S & = \sqrt{S^2}, \quad \textrm{(Amostra)} \end{align}\] em que \(S\) é apresentado anteriormente.

Exemplo motivacional

Retornando ao Exemplo motivacional, podemos então calcular os desvios padrões dos grupos, que segue:

• Desvio padrão amostral para o grupo gA:

\[\begin{align*} S_{\textrm{gA}} & = \sqrt{1,959404} = 1,399787~unid. \end{align*}\]

• Desvio padrão amostral para o grupo gB: \[\begin{align*} S_{\textrm{gB}} & = \sqrt{19,51007} = 4,41702~und. \end{align*}\]

Exemplo motivacional

• Desvio padrão amostral para o grupo gC:

\[\begin{align*} S_{\textrm{gC}} & = \sqrt{19,72232} = 4,440982~und. \end{align*}\]

• Considerando que as unidades dos grupos são iguais, bem como as suas médias, podemos concluir que o grupo gA apresenta menor dispersão;
• Claro que esse resultado, poderia ter sido observado pela variância. A diferença é que conseguimos entender na unidade da variável essa dispersão.

Usando o leem

Exemplo 1: Dados não agrupados

# Desvio padrao - Dados nao agrupados
d1 |> 
  new_leem(variable = 1) |> 
  sdev(grouped = FALSE)

[1] 1.17

Exemplos 1: Dados agrupados

# Desvio padrao: Dados agrupados
d1 |> 
  new_leem(variable = 1) |> 
  sdev(grouped = TRUE)

[1] 1.17

Usando o leem

Exemplo 2: Dados não agrupados

# Desvio padrao - Dados não agrupados
d2 |> 
  new_leem(variable = 2) |> 
  sdev(grouped = FALSE)

[1] 12.16

Exemplos 2: Dados agrupados

# Desvio padrao: Dados agrupados
d2 |> 
  new_leem(variable = 2) |> 
  sdev(grouped = TRUE)

[1] 12.62

Características do desvio padrão

• a unidade do desvio padrão está na mesma escala da unidade da variável em estudo;
• limitada apenas as variáveis quantitativas;
• uma vez que a média é sensível aos dados, o desvio padrão também é sensível, uma vez que esta depende da média;
• embora a variância amostral, \(S^2\) seja um estimador não viesado para a variância populacional \(\sigma^2\), o desvio padrão amostral \(S\), que é derivado de \(S^2\), é um estimador viesado do desvio padrão populacional \(\sigma\);

Características do desvio padrão

• assim como a variância, o desvio padrão é sempre uma medida positiva, exceto quando todos os valores são iguais que resultam em uma variância nula;
• assim como na variância, quanto mais próximo de zero o desvio padrão for, mas concentrado os dados estão em torno da média, ao passo que, à medida que o desvio padrão se distancia de zero, mas disperso os dados estão em torno da média.

Propriedades do desvio padrão

Teorema: Baseado na Definição sobre o desvio padrão, e considerando \(c\) uma constante, então:

• Se para uma amostra \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_n\), o desvio padrão é dado por \(S_X\), então para uma transformação de \(Y_i = X_i \pm c\), para \(i\) \(=\) \(1\), \(2\), \(\ldots\), \(n\), então o novo desvio padrão não se altera, isto é, \(S_Y = S_X\).

• Se para uma amostra \(X_1\), \(X_2\), , \(X_n\), o desvio padrão é dado por \(S_X\), então para uma transformação de \(Y_i = X_i \times c\), para \(i\) \(=\) \(1\), \(2\), \(\ldots\), \(n\), então o novo desvio padrão é dado por \(S_Y = S_X \times c\). Esse resultado vale também para a transformação \(Y_i = X_i / m\), sendo \(m\) também uma constante. Basta usar \(c = 1 / m\) e o resultado é o mesmo.

Coeficiente de variação (CV)

Limitações da variância e desvio padrão:

• Os grupos de observações devem estar na mesma unidade de mensuração;
• A média desses grupos devem ser iguais.

Coeficiente de variação (CV)

Definição (CV): O coeficiente de variação é definido por: \[\begin{align}\label{eq:cvpop} CV_p & = \frac{\sigma}{\mu} \times 100, \quad \textrm{(População)} \end{align}\] e \[\begin{align}\label{eq:cvamost} CV & = \frac{S}{\bar{X}} \times 100. \quad \textrm{(Amostra)} \end{align}\]

Exemplo Coeficiente de variação

Dados	Coeficiente de Variação (\(CV\))
gA	\(CV_{\textrm{gA}} = \frac{1,399787}{9,018686} \times 100 = 15,52\%\)
Número de erros	\(CV_{e} = \frac{1,174286}{1,7} \times 100 = 69,08\%\)

Usando o leem

gA |>
  new_leem(variable = 2) |>
  cv(grouped = FALSE)

[1] 15.52

d1 |>
  new_leem(variable = 1) |>
  cv(grouped = FALSE)

[1] 68.82

Características do CV

• O \(CV\) é adimensional e uma medida de dispersão relativa;
• Essa medida pode ser utilizada para comparar a dispersão entre grupos diferentes de dados;
• Como o \(CV\) é uma medida de dispersão relativa, isto é, o desvio padrão ponderado pela média. Isso significa que o \(CV\) calcula o quanto representa a dispersão (o desvio padrão) representa à média. Dessa forma, o \(CV\) se torna limitado a variáveis em que a escala de mensuração das observações em que fornece um zero absoluto ou uma origem significativa;

Características do CV

• O \(CV\) pode superar o 100%. Isso ocorre quando o desvio padrão é maior do a média. Dizemos que esses superdispersos, um exemplo, são dados de contagem que seguem uma distribuição de Poisson.

Propriedades do CV

Teorema: Com relação as propriedades do Coeficiente de Variação (CV), temos que:

• Se para uma amostra \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_n\), o coeficiente de variação, Definição anterior, então para uma transformação de \(Y_i = X_i \pm c\), para \(i\) \(=\) \(1\), \(2\), \(\ldots\), \(n\) e \(c\) uma constante, então o novo coeficiente de variação é igual a \(CV_Y = S_X / (\bar{X} \pm c) \times 100\), em que \(\bar{X}\) e \(S_X\) são a média e o desvio padrão de \(X_i\), \(i = 1, 2, \ldots, n\);
• Se para uma amostra \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_n\), o coeficiente de variação, Definição anterior, então para uma transformação de \(Y_i = X_i \times c\), para \(i\) \(=\) \(1\), \(2\), \(\ldots\), \(n\) e \(c\) uma constante, então o novo coeficiente de variação não se altera, isto é \(CV_Y = CV_X\). Esse resultado vale também para a transformação \(Y_i = X_i / m\), sendo \(m\) também uma constante. Basta usar \(c = 1 / m\) e o resultado é o mesmo.

Erro padrão da média

• População:

Definição: Seja uma amostra \(X_1\), \(X_2\), , \(X_n\), de uma população cujos parâmetros \(\mu\) e \(\sigma\), representam a média e o desvio padrão populacional, respectivamente, então o erro padrão da média, denotada por \(\sigma_{\bar{X}}\), é definido como: \[\begin{align} \sigma_{\bar{X}} & = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \end{align}\] em que \(n\) representa o tamanho da amostra.

Erro padrão da média

• Amostra:

Definição: Seja uma amostra \(X_1\), \(X_2\), , \(X_n\), de uma população cujos parâmetros \(\mu\) e \(\sigma\), representam a média e o desvio padrão populacional, respectivamente, então o erro padrão da média, denotada por \(\sigma_{\bar{X}}\), é definido como: \[\begin{align} S_{\bar{X}} & = \frac{S}{\sqrt{n}}, \end{align}\] em que \(n\) representa o tamanho da amostra, e \(S\) é o desvio padrão da Definição anterior.

Exemplo

Retornando ao Exemplo de motivação, podemos então calcular os erros padrões da média para as três amostras, que segue:

• Erro padrão da média amostral para o grupo gA: \[\begin{align*} S_{\bar{X}_{\textrm{gA}}} & = 1,399787 / \sqrt{10} = 0,442652~unid. \end{align*}\]
• Erro padrão da média amostral para o grupo gB: \[\begin{align*} S_{\bar{X}_{\textrm{gB}}} & = 4,41702 / \sqrt{10} = 1,396784~und. \end{align*}\]
• Erro padrão da média amostral para o grupo gC: \[\begin{align*} S_{\bar{X}_{\textrm{gC}}} & = 4,440982 / \sqrt{10} = 1,404362~und. \end{align*}\]

Percebemos que a média de gA estima melhor o parâmetro \(\mu\), uma vez que o erro padrão da média foi o menor dentre os demais.

Usando o leem

gA |>
  new_leem(variable = 2) |>
  mstde(grouped = FALSE, rounding = 6)

[1] 0.442652

gB |>
  new_leem(variable = 2) |>
  mstde(grouped = FALSE, rounding = 6)

[1] 1.396784

gC |>
  new_leem(variable = 2) |>
  mstde(grouped = FALSE, rounding = 6)

[1] 1.404362

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Referências

BATISTA, B. D. O. Estatística e Probabilidade: Aplicada às Engenharias e Ciências. Ouro Branco, MG, Brasil: [s.n.], 2023.

FERREIRA, D. F. Estatística Básica. 2 Revisada ed. Lavras: Editora UFLA, 2009. p. 664