Estatística e Probabilidade

Aula 12 - Probabilidades (Parte III)

Ben Dêivide | UFSJ

Filosofia de publicação (Selo DC)

Livro de Apoio

Usaremos Batista (2023):

Motivação

Variável aleatória

Definição (Variável Aleatória): Seja o espaço amostral \(\Omega\) de um experimento, então uma função \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) é chamada de variável aleatória, isto é, considerando \(\omega \in \Omega\), então a variável aleatória, \(X(\omega)\), é uma função com domínio em \(\Omega\) e imagem no conjunto dos reais \(B\), tal que \(B = \{x \in \mathbb{R}: X(\omega) = x,~\omega \in \Omega\}\).

Exemplo

Para explicar a definição de uma variável aleatória será considerado o exemplo, no qual duas variedades de uma espécie \(A\) (\(A_1\), \(A_2\)) e três de outra espécie \(E\) ( \(E_1\), \(E_2\) e \(E_3\) ) são disponibilizados para uma pesquisa. Uma amostra de duas variedades (\(n=2\)) é extraída. O espaço amostral dos resultados desse experimento, segue,

\[\begin{align*} \Omega = \left\{\begin{array}{ll} (A_1,A_2), (A_1,E_1), (A_1,E_2), (A_1,E_3), (A_2,E_1), \\ (A_2,E_2), (A_2,E_3), (E_1,E_2), (E_1,E_3), (E_2,E_3) \end{array} \right\} \end{align*}\]

Exemplo

Exemplo

Supondo que desejamos calcular a probabilidade de \(C_3\) ocorrer, temos:

\[\begin{align} P(C_3) & = P(\{\omega \in \Omega: \omega \in C_3\}) \nonumber\\ & = P(\{(A_1,A_2)\}) \nonumber\\ & = \frac{\#\{(A_1,A_2)\}}{\#\Omega} = \frac{1}{10}. \end{align}\]

Exemplo

Agora olhando para a variável \(X\), tal que \(P(C_3) = p_X(2) = P(X = 2)\), temos:

\[\begin{align}\label{eq:resX2} p_X(2) = P_X(X = 2) & = P_X(D), \quad (D = \{2\}) \nonumber\\ & = P_X(\{x \in \Omega_X: X(\omega) \in D, ~\omega \in \Omega\}) \nonumber\\ & = P(X^{-1}(2))\nonumber\\ & = P(\{\omega \in \Omega: X(\omega) = 2\})\nonumber\\ & = P(\{\omega \in \Omega: \omega \in C_3\})\nonumber\\ & = P(\{(A_1,A_2)\})\nonumber\\ & = P(C_3)\nonumber\\ & = \frac{1}{10}. \end{align}\]

Distribuição de \(X\)

Definição (Distribuição de \(X\)): O conjunto de probabilidades: \[ P_X(X(\omega) \in B) = P(\{\omega \in \Omega: X(\omega) \in B,~B \subset \mathbb{R}\}), \] para todos os subconjuntos de \(B \in \Omega_X\), em que \(B\) é um subconjunto do espaço amostral induzido, é a distribuição de uma variável aleatória \(X\).

Exemplo

Considerando que \(X\) representa o número de variedades da espécie \(A\), apresentamos a distribuição de \(X\):

\(X\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(P(X = x)\) \(3/10\) \(6/10\) \(1/10\)

Função de distribuição

Considerando eventos da forma \(B = (-\infty,x]\), definimos:

Definição (Função de distribuição): A função de distribuição (FD) ou função de distribuição acumulada (FDA) de uma variável aleatória \(X\), é definida por \[ F_X(x)=P(X\in (-\infty,x])=P(X \leq x), \ x\in\mathbb{R}. \]

Propriedades da FDA

Teorema (Propriedades da FDA): Uma função de distribuição de uma variável aleatória \(X\) obedece as seguintes propriedades:

  • \(\lim_{x\rightarrow\infty}F_X(x)=1\) e \(\lim_{x\rightarrow -\infty}F_X(x)=0\);
  • \(F_X(x)\) é uma função não decrescente, isto é, \(F_X(x)\leq F_X(y)\) sempre que \(x\leq y\), \(\forall x,y \in \mathbb{R}\);
  • \(F_X(x)\) é contínua à direita, ou seja, para um número \(x\), \(\lim_{x_n\downarrow x}F_X(x_n)\downarrow F_X(x)\).

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "discrete", prop = 1)

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "continuous", prop = 1)

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "discrete", prop = 2)

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "continuous", prop = 2)

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "discrete", prop = 3)

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "continuous", prop = 3)

Variável aleatória discreta (VAD)

Definição (VAD): Seja o espaço amostral \(\Omega\) de um experimento, então a função \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) é chamada de variável aleatória discreta se imagem é um subconjunto contável \(B\), finito ou infinito dos reais, tal que \(B = \{x \in \mathbb{R}: X(\omega) = x,~\omega \in \Omega\}\).

Função de probabilidade (FP)

Definição (FP): Seja \(X\) uma variável aleatória discreta, então sua função de probabilidade, \(p_X:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]\), é definida por: \[\begin{align*} p_X(x) & = P_X(X=x)\\ & = P(X=x) \\ & = P(\{\omega\in\Omega:X(\omega)=x\}), \end{align*}\] sendo \(\sum_xP_X(x)=1\).

Suporte de \(X\) (VAD)

Definição (Suporte de \(X\)): O suporte de uma variável aleatória discreta, denotado por \(\mathcal{X}\), tal que \(\mathcal{X} \subset \mathbb{R}\) é dado por \[\begin{align} \mathcal{X} & = \{x:~ p_X(x) > 0\}. \end{align}\]

Exemplo

Retornando ao exemplo das variedades, podemos apresentar a distribuição de probabilidade da variável \(X\), número de variedades da espécie A na amostra sorteada, \(n=2\). Cada ponto do espaço amostral amostral foi considerado como equiprovável. Assim:

X: número de variedades de A \(p_X(x)\): probabilidade
0 3/10
1 6/10
2 1/10

Exemplo

Dessa forma, o suporte de X é \(\mathcal{X} = \{0, 1, 2\}\), e cada elemento é uma realização da variável aleatória. Qualquer valor fora do suporte de \(X\) tem probabilidade zero, por exemplo, \(p_X(3) = 0\).

Exemplo

FDA para VAD

Definição (FDA): A função de distribuição de uma variável aleatória discreta \(X\) é a função \(F_X:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]\), definida por \[ F_X(x)=P(X\leq x)=\sum_{x}p_X(x), \] para todo \(x\in\mathbb{R}\).

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "discrete", prop = 1)

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "discrete", prop = 2)

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "discrete", prop = 3)

Variável Aleatória Contínua (VAC)

Definição (VAC): Seja o espaço amostral \(\Omega\) de um experimento, então a função \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) é chamada de variável aleatória contínua, se a sua imagem é um subconjunto \(B\), infinito não enumerável dos reais, e que \[\begin{align*} P(X = x) = 0, \end{align*}\] para todo \(x \in \mathbb{R}\).

Exemplo

Suponha-se que um comprimento dimensional de uma peça fabricada é medido ao longo da produção de um dia. Problemas da medição:

  • vibrações,
  • oscilações de temperatura,
  • as calibrações,
  • o desgaste da ferramenta de corte,
  • alterações da matéria-prima.

Então \(X\) é uma variável aleatória que representa a medição dessas peças, tal que \(x \in B = (a,b)\), em que \(B \subset \mathbb{R}\) .

Função densidade de probabilidade (FDP)

Definição (FDP): Seja \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) uma função. Então \(f\) é uma função densidade se:

  • \(f(x)\geq 0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\), e
  • \(\int^{\infty}_{-\infty}f(x)dx=1\).

Exemplo

Seja \[ f(x)=\left\lbrace \begin{array}{ll} 1/6x+k,&\textrm{se }0\leq x \leq 3\\ 0, & \textrm{em qualquer outro caso}. \end{array}\right. \] Encontrar o valor de “k” na função para que \(f(x)\) seja FDP. Para determinar o valor de \(k\), então \[ \int_{0}^{3}(1/6x+k)dx=1. \]

Exemplo

Assim, \[\begin{align*} \int_{0}^{3}(1/6x+k)dx&=&\left[1/6\frac{x^2}{2}+xk \right]_0^{3} \nonumber \\ &=&1/6\frac{3^2}{2}+3k. \end{align*}\] Igualando o resultado anterior a 1, temos:

\[ 1/6\frac{3^2}{2}+3k=1 \Rightarrow k=1/12. \]

Portanto, \(f(x)=1/6x+1/12\) é uma FDP.

Variável Aleatória Absolutamente Contínua (VAAC)

Definição (VAAC): Uma variável aleatória \(X\) é absolutamente contínua se existe uma função densidade \(f_X(x)\), tal que \[\begin{align*} F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)dt, \end{align*}\] para todo \(x \in \mathbb{R}\).

FDA

Definição (FDA): Se \(X\) é uma variável aleatória contínua, a função de distribuição \(F_X\), se existir uma função densidade \(f_X\), é definida por \[ F_X(x) = \int^{x}_{-\infty} f_X(t)dt, \ x \in \mathbb{R}. \]

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "continuous", prop = 1)

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "continuous", prop = 2)

Propriedades da FDA

Usando o leem

showcdf(variable = "continuous", prop = 3)

Medidas resumo

Definição (Esperança matemática): Seja \(X\) uma variável aleatória, então a esperança matemática (ou média) de \(X\), denotada por \(\mu_X\) ou \(E[X]\), é definida:

  • se \(X\) for discreta, \[\begin{equation} E[X] = \sum_i x_i p_X(x_i), \end{equation}\] Para um conjunto de pontos \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\), \(x_i\), \(\ldots\);
  • se \(X\) for contínua, \[\begin{equation} E[X] = \int^{\infty}_{-\infty} x f_X(x)dx, \end{equation}\] sendo \(f_X(x)\) uma função densidade de probabilidade.

Variância

Definição (Variância): Seja \(X\) uma variável aleatória e sua esperança matemática dada por \(E[X] = \mu\), enttão a variância de \(X\), denotada por \(\sigma_X^2\) ou \(Var[X]\), é definida:

  • se \(X\) for discreta, por: \[\begin{equation} \sigma_X^2 = \sum_i (x_i - \mu)^2P_X(x_i), \end{equation}\] para um conjunto de pontos \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\), \(x_i\), \(\ldots\);
  • se \(X\) for contínua, por: \[\begin{equation} \sigma_X^2 = \int^{\infty}_{-\infty} (x_i - \mu)^2f_X(x)dx, \end{equation}\] sendo \(f_X(x)\) uma função densidade de probabilidade.

Desvio padrão

Definição (Desvio padrão): Seja \(X\) uma variável aleatória, então o desvio padrão de \(X\), denotado por \(\sigma_X\), é definido por: \[\begin{align}\label{eq:desvpad} \sigma_X & = + \sqrt{\sigma_X^2}, \end{align}\] em que \(\sigma_X^2\) é a variância de \(X\).

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Referências

EPAEC | https://bendeivide.github.io/

BATISTA, B. D. O. Estatística e Probabilidade: Aplicada às Engenharias e Ciências. Ouro Branco, MG, Brasil: [s.n.], 2023.