Estatística e Probabilidade

Aula 15- Distribuições de probabilidade (Parte II)

Ben Dêivide | UFSJ

Filosofia de publicação (Selo DC)

Livro de Apoio

Usaremos Batista (2023):

Introdução

• Distribuição Normal

Distribuição Normal

Uma variável aleatória \(X\) contínua, tem distribuição normal se sua função densidade de probabilidade é dada por \[\begin{align}\label{eq:distnormal} f_X(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}},& \mbox{para} \quad -\infty<x<\infty,\\ 0, & \textrm{caso contrário}, \end{array}\right. \end{align}\] em que os parâmetros \(\mu\) e \(\sigma^2\) satisfazem \(\mu \in \mathbb{R}\) e \(\sigma^2 > 0\). Em notação, \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) representa que \(X\) tem distribuição Normal com parâmetros \(\mu\) e \(\sigma^2\).

Parâmetros da Normal

Forma de sino

Parâmetro \(\mu\)

Parâmetro \(\sigma\)

Distribuição Normal

# Anexando o leem
library(leem)
# Propriedade 1
propofnormal(type = 1)
title(main = "Forma de sino")

Distribuição Normal

# Anexando o leem
library(leem)
# Propriedade 2
propofnormal(type = 2)
title(main = bquote("Distribuição simétrica em"~mu))

Distribuição Normal

# Anexando o leem
library(leem)
# Propriedade 3
propofnormal(type = 5)

Exemplo

Exemplo: \(A = P(a = 11 < X < b = 12) = ?\), para \(\mu = 10\) e \(\sigma = 2\)

\[\begin{align} A = \int_{11}^{12}\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\times e^{-1/2\left(\frac{10 - x}{2}\right)^2}dx = 0,1498 \end{align}\]

Analiticamente é intratável!

Transformação \(Z\)

\[ \textrm{Transformação}:~Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

\[ \textrm{FDP}:~f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}z^2},\quad Z\sim N(0,1) \]

Assim,

\(\int_{-\infty}^{a}f_X(x)dx\) \(\Rightarrow\) \(z = (x - \mu) / \sigma\) \(\Rightarrow\) \(\int_{-\infty}^{z}f_Z(t)dt\)

Como assim facilitou os cálculos?

Tabela de \(Z\)

showtabnormal(0.5)

Retornando ao Exemplo

Vários tipos de tabela \(Z\)

Consultando o EPAEC:

Regiões conhecidas

# Anexando o leem
library(leem)
# Propriedade 3
propofnormal(type = 3)
title(main = "Regiões conhecidas")

Regiões conhecidas e \(Z\)

Transformação \(Z\)

# Anexando o leem
library(leem) 
# Propriedade 4
propofnormal(type = 4) 

Mais características da Normal

• Distribuição contínua
• Distribuição mais conhecida da estatística
• Modela diversas variáveis
• Teorema do Limite Central (TLC)

Exemplo

Suponha que a espessura média de arruelas produzidas em uma fábrica tenha distribuição normal com média \(11,15~mm\) e desvio padrão \(2,238~mm\). Qual a porcentagem de arruelas que tem espessura entre \(8,77~mm\) e \(14,70~mm\)?

Exemplo com o leem

probnormal(a = 8.77, b = 14.70, mean = 11.15, sd = 2.238, type = 6)

Questões?

Dúvidas e Sugestões

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Referências

BATISTA, B. D. O. Estatística e Probabilidade: Aplicada às Engenharias e Ciências. Ouro Branco, MG, Brasil: [s.n.], 2023.