Estatística e Probabilidade

Aula 11 - Probabilidades

Ben Dêivide | UFSJ
Estatística e Probabilidade

Selo DC

Teoria de conjuntos no contexto probabilístico

Todo experimento cujo resultado não pode ser previsto antes de sua execução, é chamado de experimento aleatório.


Exemplos

Lançar um dado equilibrado e observar o resultado obtido na face superior do dado.

Observar o número de chamadas telefônicas que chegam a uma central telefônica em um determinado intervalo de tempo.

Para a escolha ao acaso de uma lâmpada que acabou de sair do processo de fabricação, verificar o tempo de duração da lâmpada em funcionamento.

Experimento aleatório

Em um contexto aplicado, podemos estar interessados em estudar a resistência de um fio de cobre a uma determinada corrente

Espaço amostral

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento, denotado por $ \Omega $, é chamado de espaço amostral.



  • Cada um dos elementos do espaço amostral é representado por \(\omega\);
  • Relações:
    • Pertinência: \(\omega \in \Omega\);
    • Continência: \(A \subset B \Leftrightarrow \omega \in A \Rightarrow \omega \in B\);
    • Equivalência: \(A = B \Leftrightarrow A \subset B \textrm{ e } B \subset A\).

Espaços amostrais discretos e contínuos

Um espaço amostral é discreto se o conjunto dos possíveis resultados são finito ou infinito contável (ou enumerável). Um espaço amostral é dito contínuo se o conjunto dos possíveis resultados são infinitos não contável (ou não enumerável).



Exemplo

Considere um experimento em que você seleciona uma câmera de telefone celular e registra o tempo de recarga de um flash. Os resultados possíveis para o tempo dependem da resolução do temporizador e dos tempos máximo e mínimo de recarga. Entretanto, podemos definir inicialmente o espaço amostral em termos da reta real positiva ($\mathbb{R}_+$), isto é,

\begin{align*} \Omega = \mathbb{R}_+ & = \{ x ~:~ x > 0\}. \end{align*}

Se soubermos que os tempos de recarga estão entre $ 1,5 $ e $ 5 $ segundos, podemos definir o espaço amostral da seguinte forma:

\begin{align*} \Omega & = \{ x ~:~ 1,5 \leq x \leq 5\}. \end{align*}

Caso, consideremos o tempo de recarga como "baixo", "médio" ou "alto", reescrevemos o espaço amostral como:

\begin{align*} \Omega & = \{ \textrm{baixo}, \textrm{médio}, \textrm{alto} \}. \end{align*}

Exemplo (continuação...)

Por fim, podemos considerar apenas o fato da câmera satisfazer ou não as especificações do tempo de recarga mínimo, e assim, podemos assumir como resultados para esse espaço amostral: "sim" ou não", isto é,

\begin{align*} \Omega & = \{\textrm{sim},~\textrm{não}\}. \end{align*}

Para as duas primeiras situações, temos exemplos de espaços amostrais contínuos, e nos dois últimos, exemplos de espaços amostrais discretos.


Subconjunto

Se todo elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B, então A é definido como um subconjunto de B, sendo representado $ A\subset B $ ou $ B\supset A $ (A está contido em B ou B contém A), em notação dizemos que:

\begin{align*} A \subset B \Leftrightarrow A \subseteq B \textrm{ e } A \neq B. \end{align*}
  • Essa definição pode ser aplicada também a subconjuntos de $ \Omega $, como apresentado no Exemplo sobre subconjuntos, a seguir.

Exemplo

Sejam os subconjuntos de $ \Omega $ do experimento aleatório apresentado no Exemplo sobre espaços amostrais, dos quais temos:

\begin{align*} B=\{ 1,2,3,4 \} \ \mbox{ e } \ A= \{ 1,2,3 \}, \end{align*}

então A é um subconjunto de B, pois, os elementos que contém em A, também contém em B.


Evento


Todo subconjunto do espaço amostral ($ \Omega $), representado por letras latinas em maiúsculo, A, B, $ \ldots $, é chamado de evento.


Exemplo

Um experimento lança três moedas honestas, e deseja-se verificar a face superior dessas moedas. Sabe-se que cada moeda apresenta duas faces: cara (H) e coroa (T). Dessa forma, o espaço amostral é dado por:

\begin{align*} \Omega = &\{(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),\\ & (T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)\}. \end{align*}

Um evento retirado desse espaço amostral seria $ A=\{(H,H,H) $, $ (H,H,T) $, $ (H,T,T) \} $, ou seja, o evento em que dos três arremessos de moedas, tenha saído "cara" na primeira moeda.

Evento certo, impossível e elementar

Seja $ \Omega $ o espaço amostral do experimento. Então dizemos que $ \Omega $ é o evento certo, e $ \emptyset $ é o evento impossível, e o evento $ \{\omega\} $ é dito elementar.

Conjunto vazio

Se o conjunto A não contém nenhum elemento, então A é chamado de conjunto nulo ou conjunto vazio, ou seja, $ A=\varnothing $ ou $ A=\{ \ \} $, isto é,

\begin{align*} A & = \{\omega \in \Omega: \omega \neq \omega \}. \end{align*}

União de dois eventos

Sejam A e B, dois eventos quaisquer de $ \Omega $, então o conjunto de todos os elementos que estão em A ou B ou em ambos, é definido como o conjunto união de A e B, denotado por $ A\cup B $, tal que,

\begin{align*} A\cup B & = \{\omega \in \Omega: ~\omega \in A \textrm{ ou } \omega \in B\}. \end{align*}

Exemplo

Sejam os conjuntos:

\begin{align*} A & =\{1,2,3\} \ \mbox{e} \ B=\{3,4,5,6\}, \end{align*}

então

\begin{align*} A\cup B & =\{1,2,3,4,5,6\}. \end{align*}

Interseção de dois eventos

Sejam A e B, dois eventos quaisquer de $ \Omega $, então o conjunto que contém todos os elementos que estão em A e B, é definido como a interseção de A e B, denotado por $ A\cap B $ ou $ AB $, tal que,

\begin{align*} A \cap B & = \{\omega \in \Omega: ~\omega \in A \textrm{ e } \omega \in B\}. \end{align*}

  • Do Exemplo sobre união de eventos, temos que a intersecção de $ AB = {3} $.

Eventos Disjuntos ou multuamente exclusivos

Sejam A e B, dois eventos quaisquer de $ \Omega $, então estes são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não existir elementos em comum entre A e B, isto é, $ A\cap B = \emptyset $.

Exemplo

Sejam os eventos $ A=\{1,2,3,4\} $ e $ B=\{5,6\} $, então $ A\cap B=\varnothing $.


Eventos equivalentes

Dois eventos $ A $ e $ B $ são definidos equivalentes, ou iguais, se $ A\subseteq B $ e $ B \subseteq A $.

Exemplo

Sejam os eventos $ A=\{1,2,3,4\} $ e $ B=\{5,6\} $, então $ A\cap B=\varnothing $.


Evento complementar

Seja $ A $ um evento de $ \Omega $. Então o complemento do evento A com respeito a $ \Omega $, denotado por $ \overline{A} $, $ A^c $, ou $ \Omega-A $, é o subconjunto dos elementos de $ \Omega $ exceto os elementos do evento A, isto é,

\begin{align*}\label{compeventos} A^c & = \{\omega \in \Omega: ~ \omega \notin A\}. \end{align*}

Exemplo

Seja o espaço amostral $ \Omega $ do experimento que consiste em arremessar três moedas honestas. Diremos que $ H $ consiste na face superior da moeda ser cara, e $ T $ coroa. Assim,

\begin{align*} \Omega = &\{(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),\\ & (T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)\}. \end{align*}

e um subconjunto de $ \Omega $, cujo evento será aparecer cara na primeira moeda, dado por

$$ A=\{(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H), (H,T,T)\}. $$

Então o complemento de A será:

$$ \overline{A}=\{(T,H,H),(T,H,T), (T,T,H), (T,T,T)\}. $$

Diferença de dois eventos

Sejam A e B dois eventos de $ \Omega $. O conjunto de todos os elementos de $ A $ que não estão em $ B $, serão denotados por $ A-B $ ou $ A\setminus B $, sendo definido por conjunto diferença, isto é,

\begin{align*} A - B & = \{\omega \in \Omega: ~\omega \in A \textrm{ e } \omega \notin B\}. \end{align*}

Exemplo

Sejam os conjuntos $ A=\{1,2,3,4\} $ e $ B =\{3,4\} $, então $ A-B=\{1,2\} $.


Partição

Considerando uma sequência de eventos $ A_1 $, $ A_2 $, $ \ldots $, $ A_n $, não vazios, é uma partição do evento $ A $, se e somente se,

  • $ A = \bigcup_{i = 1}^{n}A_i $;
  • $ A_1 $, $ A_2 $, $ \ldots $, $ A_n $ são multuamente disjuntos, tais que $ A_i \cap A_j, ~\forall i \neq j $.

Leis na teoria de conjuntos

Considere três eventos $ A $, $ B $, e $ C $ definidos em $ \Omega $, então segue que:

  • Lei comutativa: $ A\cup B = B \cup A$ e $A\cap B = B \cap A $;
  • Lei associativa: $ A \cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C $;
  • Lei distributiva: $ A \cup (B \cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C) $ e $ A \cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C) $;
  • Lei DeMorgan: $ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c $ e $( A \cap B)^c = A^c \cup B^c $.

Ver livro EPAEC!.

Identidades em conjuntos

Sejam os eventos $ A $ e $ B $ definidos no espaço amostral $ \Omega $, não vazio. Então, apresentamos as seguintes identidades:

  • $ A\cap A^c = \emptyset $;
  • $ A \cup A^c = \Omega $;
  • $ \Omega^c = \emptyset $;
  • $ \emptyset^c = \Omega $;
  • $ (A^C)^C=\overline{(\overline{A})}=A $, em outras palavras, o complemento de $ \overline{A} $ é igual a $ A $;
  • $ A\Omega=A $ (Elemento neutro);
  • $ A\cup \Omega=\Omega $;
  • $ A \cap A = A $ (Idempotência);
  • $ A\varnothing=\varnothing $ (Elemento absorvente);
  • $ A\cup \varnothing = A $;
  • $ A - B = A - (A \cap B) = A \cap B^c $;
  • \(B = (B \cap A) \cup (B \cap A^c)\);
  • \(B - A = B \cap A^c\);
  • \(A \cup B = A \cup (B \cap A^c)\);
  • \(A \cup B = (A^c \cap B)\cup (A \cap B) \cup (A \cap B^c)\).


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