5 Probabilidades
5.1 Introdução
Após finalizarmos as principais ideias sobre a Estatística Descritiva, Capítulos 1 a 4, iniciamos o assunto de probabilidade, como passos iniciais para a tomada de decisão por meio dos dados. Para isto, usaremos a Estatística Inferencial (Teoria da Estimação e Teoria da decisão), assuntos vistos nos Capítulos 9 e 10. Contudo, é imprescindível uma fundamentação teórica sobre a probabilidade, base para a tomada de decisão.
A probabilidade vem aparecer como ramo da matemática no século XV, embora tenha surgido antes desse período. Entretanto, somente no século XVI, é que a teoria da probabilidade passa a ser estudada com profundidade, quando Jerónimo Cardano (1501-1576) passa a estudar problemas com os jogos de azar: cartas, dados, etc. Os jogadores de cassinos, tentavam encontrar meios de obter chances maiores de, por exemplo, ganhar um jogo, acertar um número ou uma carta. Daí surge a probabilidade para resolver esses problemas por meio dos matemáticos.
Já a estatística inicialmente, tentava identificar determinados problemas do Estado, como o número de nascidos e de mortos, determinação do número de pessoas do sexo masculino e feminino, etc. Entretanto, apenas no início do século XX é que a probabilidade e a estatística passam a ser interligadas, isto é, a estatística agora necessita de técnicas probabilísticas para o estudo de dados.
Hoje, a Estatística tem como um dos objetivos entender características atribuíveis a população de estudo. Com um subconjunto (amostra) da população, a estatística tenta se aproximar dessas características (parâmetros) por meio da inferência, através dos estimadores (características atribuíveis a amostra). Entretanto, se basear numa amostra para entender a população, gera uma incerteza. E essa incerteza é medida por meio da teoria da probabilidade, pela qual toda a estatística é desenvolvida.
Inicialmente, faremos uma revisão sobre Teoria de conjuntos, já usando termos específicos dentro da probabilidade, como por exemplo, a definição de um Experimento aleatório, dentre outras. Isso porque se faz necessário o entendimento sobre o agrupamento de elementos, e a chance com que esses elementos podem ocorrer em um experimento.
5.2 Introdução à teoria de conjuntos no contexto probabilístico
Quando desejamos compreender algum fenômeno da natureza, tentamos estudá-lo por meio de um processo de observação chamado experimento. Para isso, definimos um experimento aleatório, Definição 5.1, a seguir.
Definição 5.1: Experimento Aleatório
Vejamos os Exemplos 5.1, 5.2 e 5.3 para exemplificar um experimento aleatório.
Exemplo 5.1
Exemplo 5.2
Exemplo 5.3
Em um contexto aplicado, podemos nos interessar em estudar a resistência de um fio de cobre a uma determinada corrente. Para isso, replicamos diversas vezes esse fenômeno e medimos a resistência. Este é um exemplo do que chamamos de experimento. Para que esse experimento não tenha resultados inconsistentes, usamos muitas vezes um laboratório para tentar controlar outras variáveis que possam perturbar o experimento, isto é, medimos a resistência do fio, de modo que a maior influência dessa variável para o experimento, seja devida a corrente aplicada ao final. Por mais que limitemos as condições externas do experimento, surgem sempre variáveis não controláveis ao sistema que foge do controle do pesquisador nesses casos, que são as variáveis não controláveis, Figura 5.1. Por mais que repliquemos o experimento, em mesmas condições, veremos que a medida da resistência do fio não será igual, devido a essas variáveis não controláveis, e que isso reflete em um componente aleatório, e por consequência, dizemos que estes tipos de experimentos são chamados de experimentos aleatórios.
Baseado, nos exemplos anteriores, percebemos pelo Exemplo 5.1, que não sabemos de fato qual o número da face superior que ocorrerá após o lançamento do dado. Mas sabemos, quais os resultados possíveis, que são:
Definição 5.2: Espaço amostral
Cada um dos elementos do espaço amostral é representado por
- Continência:
; - Equivalência:
.
E que fique claro, a relação de elemento para conjunto é de pertinência, isto é,
De forma mais abrangente, poderíamos apresentar a relação da equivalência da seguinte forma:
- Continência:
.
Esta representa difere da situação anterior da seguinte forma:
- dizemos que
, implica que é um subconjunto estrito de , e que contém pelo menos um elemento que não pertence a , logo não pode ser igual ; - dizemos que
, implica que é um subconjunto de , podendo ser igual ou não , isto é, todos os elementos de podem pertencer a ou pode ter elementos adicionais que não pertencem a , e daí pode não ser igual a .
Retornando a Definição 5.2, podemos apresentar um outro espaço amostral, para o experimento dado no Exemplo 5.4, a seguir.
Exemplo 5.4
Contudo, como apresentamos a natureza das variáveis no Capítulo 1, definimos também a natureza dos espaços amostrais de acordo os seus resultados, do qual podemos apresentá-la na Definição 5.3.
Definição 5.3: Espaços amostrais discretos e contínuos
Vejamos o Exemplo 5.5, retirado de Montgomery e Runger (2016), para distinguir espaços amostrais discretos e contínuos, apresentado a seguir.
Exemplo 5.5: Câmera Flash
Entretanto, também podemos ter um conjunto qualquer
Definição 5.4: Subconjunto
Essa definição pode ser aplicada também a subconjuntos de
Exemplo 5.6
Definição 5.5: Evento
Vejamos o Exemplo 5.7, para um entendimento inicial sobre um evento, apresentado a seguir.
Exemplo 5.7
Um outro exemplo abordado em James (2004), pode exemplificar um evento dentro do círculo unitário, apresentado no Exemplo 5.8, a seguir.
Exemplo 5.8
Escolher ao acaso um ponto no círculo de raio 1 centrado na origem. Então
Diante, do que falamos sobre a definição de evento, podemos apresentar três eventos básicos: o evento certo, impossível e o elementar, apresentados na Definição 5.6, a seguir.
Definição 5.6: Evento certo, impossível e elementar
Uma outra forma de definir o evento impossível é representá-lo como um conjunto vazio, apresentado na Definição 5.7, a seguir.
Definição 5.7: Conjunto Vazio
Podemos perceber que todo conjunto vazio é um subconjunto de qualquer evento não vazio do espaço amostral, como pode ser apresentado no Teorema 5.1.
Teorema 5.1
Prova
E ainda podemos concluir que se existe um conjunto vazio, ele é único, como pode ser apresentado no Corolário 5.1.
Corolário 5.1
Em algumas situações, podemos apresentar alguns eventos a partir da combinação de outros eventos. Dessa forma, se faz necessário apresentar algumas operações elementares de conjuntos e suas consequências, tais como a união, interseção, complemento, dentre outras definições abordadas a seguir. Inicialmente, apresentamos na Definição 5.8, a união de dois eventos.
Definição 5.8: União de dois eventos
Vejamos o Exemplo 5.9, sobre a união de dois eventos, a seguir.
Exemplo 5.9
A Definição 5.9 apresenta a próxima propriedade de conjuntos, que é a interseção de de eventos, apresentada a seguir.
Definição 5.9: Interseção de dois eventos
Do Exemplo 5.9, temos que a intersecção de
Definição 5.10: Eventos Disjuntos ou mutuamente exclusivos
Vejamos o Exemplo 5.10, para entendermos sobre eventos disjuntos, apresentado a seguir.
Exemplo 5.10
Em seguida, apresentamos mais duas definições interessantes, que são os eventos coletivamente exaustivos (Definição 5.11) e eventos equivalentes (Definição 5.12), apresentados na sequência.
Definição 5.11: Eventos coletivamente exaustivos
Na sequência, segue a definição sobre eventos equivalentes.
Definição 5.12: Eventos equivalentes
Exemplo 5.11
Uma relação de eventos que será muito importante para o estudo da teoria da probabilidade, é a definição de complemento, abordado a seguir.
Definição 5.13: Evento Complementar
Exemplo 5.12
Definição 5.14: Diferença de dois eventos
A Definição 5.14 pode ser confundida com a Definição 5.13, porém esta última se remete ao espaço amostral, e a diferença entre dois eventos se refere apenas a existência dos elementos de um evento que não estão em outro evento. Vejamos o Exemplo 5.13, e depois compare com o Exemplo 5.12, para elucidar essas duas definições.
Exemplo 5.13
Por fim, uma última definição é a partição de conjuntos, apresentado na Definição 5.15, a seguir.
Definição 5.15: Partição de
Considerando uma sequência de eventos
; são mutuamente disjuntos, tais que .
Considerando que
Teorema 5.2
Considere três eventos
- Lei comutativa:
e ; - Lei associativa:
; - Lei distributiva:
e ; - Lei DeMorgan:
e .
Prova
Para provar que dois conjuntos são iguais, devemos demonstrar que todo elemento que está em um conjunto, também está no outro, e vice-versa.
- Supomos que
, portanto, . Logo, . Da mesma forma, supomos que , portanto, . Logo, . De forma resumida, podemos expressar essa prova da seguinte forma: ; Para a outra parte da prova, supomos que , portanto, . Logo, . Da mesma forma, supomos que , portanto, . Logo, . De forma resumida, podemos expressar essa prova da seguinte forma: , o que finaliza a prova da Lei comutativa; - Supomos que
, portanto, , e que isso implica em . Logo, . Da mesma forma, supomos que , portanto, , e que isso implica em . Logo, . De forma resumida, podemos expressar essa prova da seguinte forma: , o que finaliza a prova da Lei associativa; - Supomos que
, portanto, . Considerando que , então , logo, . Considerando que , então e . Logo, . Agora, assumimos que , portanto, . Isso significa que, ou ou , logo, . Para a segunda parte, assumimos que . Isso implica que e . Como , então e . Logo, . Agora, assumimos que , portanto, ou . Se , então está em e . Como , então . Se , então está em e . Como , então . Logo, , o que finaliza a prova da Lei distributiva. - Supomos que
, então , isto é, ou . Como ou , então e . Logo, . Agora, assumimos que . Isso implica que e , de modo que ou ou . Assim, , e pela definição de evento complementar, concluímos que . De forma resumida, podemos expressar essa prova da seguinte forma: . Na segunda parte, assumimos que , então . Assim, e nem . Como consequência, ou , logo . Da mesma forma, assumimos que , isto é, ou . Isso implica que . Usando a definição de evento complementar, logo , o que conclui a prova para a Lei DeMorgan. De forma resumida, podemos expressar essa prova da seguinte forma: .
Para finalizar, apresentamos pelo Teorema 5.3, algumas identidades que serão importantes na teoria de conjuntos para o estudo sobre a probabildade.
Teorema 5.3
Sejam os eventos
; ; ; ; , em outras palavras, o complemento de é igual a ; (Elemento neutro); ; (Idempotência); (Elemento absorvente); ; ; ; ; ; .
Prova
Para provar que dois conjuntos são iguais, devemos demonstrar que todo elemento que está em um conjunto, também está no outro, e vice-versa.
- Vamos apresentar a prova por contradição. Suponha que
, então . Mas por definição , então a afirmação , é absurdo. Logo, . Vejamos a representação em diagrama de Venn, a seguir.
. Vejamos a representação em diagrama de Venn, a seguir.
Vamos apresentar a prova por contradição. Supomos que
. Isso significa que , e isso é absurdo, pois representa o conjunto de todos os resultados possíveis em um experimento. Logo, ;Vamos provar por contradição. Supomos que
. Isso implica que, . Então, isso implica que , que é absurdo. Logo, . Uma outra forma de apresentar essa prova é usar a definição de evento complementar, isto é, . Considerando , então . Logo, ; ; , como pode ser observado pelo diagrama a seguir.
, como pode ser visto no diagrama a seguir.
, como pode ser observado no diagrama a seguir.
Vamos apresentar a prova por contradição, isto é, vamos supor que
, então . Assim, e . Porém, é falso. Então é falso. Logo, ;Considerando que
, então ou ou . Mas é falso, logo . Do mesmo modo se , então ; . Da mesma forma, . Vejamos o diagrama a seguir.
- Considerando que
, então ou ou . Se , então . Se , então . Logo, . Agora, considerando que , sabemos que ou . Se , então . Se , então . Logo, . Uma outra forma de provar mais facilmente essa identidade é usar a Lei distributiva (Teorema 5.2, III), isto é, . Vejamos o diagrama de Venn para uma melhor elucidação, a seguir.
- Basta usar a propriedade VI desse teorema;
. Vejamos o diagrama a seguir.
. Vejamos o diagrama a seguir.
Baseado em tudo o que foi estudado sobre uma introdução à teoria de conjuntos, iremos a partir da próxima seção, contextualizar todas essas informações com o estudo sobre a medida de probabilidade.
5.3 Definições de probabilidades
Após um contexto sobre a teoria de conjuntos, iniciamos o contexto probabilístico, com o interesse de saber a chance de determinado elemento de um evento ocorrer como resultado de um experimento, ao invés de estar interessado nesse resultado. Isso tem total importância prática, pois é dessa forma, por exemplo, que prevemos determinados resultados de um fenômeno de interesse. Consideremos um evento
Esta é a definição clássica de probabilidade quando
Dessa forma, estaremos apenas interessados em eventos cuja área esteja bem definida, apresentada na Definição 5.16, a seguir.
Definição 5.16: Evento Aleatório
Definimos a medida de probabilidade apresentada na Definição 5.17, a seguir.
Definição 5.17: Medida de Probabilidade
Seja
- (Normalização).
; - (Não-negatividade).
, ; - (Aditividade).
, com , para .
Assim como mencionado por Montgomery e Runger (2016), os axiomas não determinam probabilidades, mas capacitam a calcular facilmente as probabilidade de alguns eventos, a partir do conhecimento de outras probabilidades. Na realidade, a probabilidade se baseia no conhecimento do sistema em estudo.
Poderíamos ampliar o Axioma} [
Axioma [iii
Para isso, basta considerarmos
Axioma [iii
Podemos verificar que o Axioma [iii
Teorema 5.4: -adivitividade implica em aditividade finita
Prova
Definimos
Um quarto Axioma, pode ser complementado sobre a medida de probabilidade James (2004), que segue:
Axioma [iv]. (Continuidade do vazio). Se a sequência
Este axioma indica que se
Teorema 5.5: Equivalência dos Axiomas [ ] e [ ]
Prova
- Supomos o Axioma [iii
]. Seja uma sequência de eventos , tais que . Vamos provar que . Considere
As regiões
- Supomos o Axioma [iv] e seja a sequência decrescente
de eventos disjuntos. Vamos provar que . Seja , então
Por fim, o Corolário 5.2 apresenta as relações entre os Axiomas apresentados sobre a medida de probabilidade, a seguir.
Corolário 5.2
Os dois seguintes sistemas de axiomas são equivalentes:
Sistema I: | Axiomas [i], [ii], [iii |
Sistema II: | Axiomas [i], [ii], [iii |
Vejamos o Exemplo 5.14, para elucidar a definição de probabilidade, a seguir.
Exemplo 5.14: Montgomery e Runger (2016)
- Qual é o espaço amostral?
- Qual é a probabilidade de a peça ser proveniente da cavidade 1 ou 2?
- Qual é a probabilidade de a peça não ser proveniente nem da cavidade 3 nem da 4?
Nesse caso, (a) o espaço amostral é
O ítem (c) do Exemplo 5.14 exigiria um conhecimento sobre algumas propriedades da medida de probabilidade como consequência das propriedades da teoria de conjuntos abordadas na seção anterior, mas que serão abordadas a seguir.
Apesar da definição formal sobre a probabilidade, há duas formas para atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral, que em algumas situações são aplicáveis, que seguem:
- A primeira delas, consiste na atribuição de probabilidades, baseando-se em características teóricas da realização do fenômeno, chamado de probabilidade clássica ou a priori; formalmente, se um experimento aleatório obtiver resultados mutuamente exclusivos e igualmente prováveis, e se
desses resultados têm um atributo , então, a probabilidade de acontecer é a fração . Mais ainda, Laplace define a probabilidade de um acontecimento como sendo o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, supondo todos equiprováveis. A principal limitação é que os eventos tenham que ser igualmente prováveis. - Uma outra maneira de obter probabilidades é através das frequências de ocorrências, também conhecida como probabilidade frequentista ou a posteriori, em que a probabilidade de um dado acontecimento pode ser medida observando a frequência relativa do mesmo acontecimento numa sucessão numerosa de provas ou experiências, idênticas e independentes. A principal limitação é que os eventos possam repetir-se indefinidamente nas mesmas circunstâncias.
Exemplo 5.15
Exemplo 5.16
5.3.1 Propriedades
Vejamos algumas propriedades da medida de probabilidade, consequências dos Teoremas 5.2 e 5.3, a seguir.
Teorema 5.6: Propriedades de
Seja
- (Complemento)
; ; ;- (Monotonicidade) Se
, então ; ;- (Limitante Superior)
; - (Continuidade da probabilidade) Se
, então . Se , então . - (Desigualdade de Boole)
; - (subaditividade)
; - (Desigualdade de Bonferroni)
- (Inclusão-Exclusão)
.
Prova
- Sabemos que
, Teorema 5.3 ( ), e que estes eventos são disjuntos, então
Sabemos que
e são eventos disjuntos. Assim, o que conclui a prova;Podemos observar que
, Teorema 5.3 ( ), e que e são disjuntos. Portanto,
Se
, então . Usando , temos como queríamos demonstrar.Observando a seguinte identidade encontrada no Teorema 5.3 (
), isto é,
Por (
Pela Definição 5.17, usando o Axioma da Não-aditividade, a prova é imediata;
Vamos supor que
, isto é, e . Então pelo item (iv), e pela continuidade do vazio. Pela aditividade finita , e como é decrescente, logo . Agora, se , isto é, e , então , logo . Portanto, , como queríamos demonstrar;Vamos inicialmente criar uma sequência disjunta
com a propriedade . Definimos É fácil perceber que onde a última igualdade segue, pois são disjuntos. Observemos que pela construção, , portanto, pela propriedade ( ), , logo Concluindo a prova,Assumindo que
para todo , então a propriedade ( ) implica na propriedade ( ), o que conclui a prova.Pela Lei DeMorgan, Teorema 5.2 (
), podemos generalizar a equivalência: , e como consequência temos que (Teorema 5.3, ). Ainda pelo Teorema 5.3 ( ), . Portanto, podemos afirmar que Logo, pela expressão (5.9) e as equivalências apresentadas anteriormente, temos que Pela subaditividade, propriedade ( ), observamos que Portanto, substituindo (5.10) em (5.11), temos o que se conclui a prova;Vamos apresentar duas provas:
Primeira demonstração
Primeiro para
, temos a propriedade do Teorema 5.6, isto é,Para
, vamos considerar , e que
Segue que
Substituindo as expressões (5.45) e (5.14) em (5.39), logo
- Para
, já apresentando o resultado direto, temos - Para
, já apresentando o resultado direto, temos
Observe que a última expressão para a união das probabilidades alterna o sinal à medida que
Segunda demonstração
Para uma segunda demonstração, vamos provar para
Nesse momento, precisamos verificar algumas equivalências:
- Primeira equivalência:
Segunda equivalência:
Terceira equivalência:
- Demais equivalências: os demais termos apresentados em (5.19) seguem as mesmas ideias das equivalências apresentadas anteriormente, exceto o último termo
.
Portanto, substituindo as expressões (5.20), (5.21) e (5.22) em (5.19), chegamos ao resultado esperado
Os resultados apresentados no Teorema 5.6 como propriedades da medida de probabilidade, nos auxilia em diversos problemas de uma forma geral, como condições elementares apresentadas nas sete primeiras propriedades, condições limitantes nas propriedades de (
Exemplo 5.17: Princípio da inclusão-exclusão
Após termos apresentado nas propriedades da probabilidade, Teorema 5.6 (
Deduzindo os termos individuais em (5.23), temos
Deduzindo o outro termo, temos
Substituindo (5.24) e (5.25) em (5.23), obtemos
Devemos observar as seguintes equivalências:
- Primeira equivalência:
Percebemos ainda no Teorema 5.6 que a propriedade (
Exemplo 5.18: Retirado de Devore (2006)
;- A probabilidade de a quantia da taxa vitalícia ser excedida em exatamente um dos dois meses. Descreva esse evento em termos de
e .
Considere,
Isso ocorre porque os eventos não são disjuntos, uma vez que os dois eventos consistem no mesmo lar X, em ser selecionado. Assim, usando a propriedade (
Podemos ainda observar pelo Teorema 5.3 (prop. XV), que
5.4 Eventos independentes e probabilidade condicional
Nessa seção, iremos apresentar iniciar com uma motivação, por meio do Exemplo 5.20, uma abordagem sobre dois assuntos muito interessantes na probabilidade, que são a independência de eventos e a modificação do espaço amostral, dada uma informação antecipada, e qual a implicância dessas informações para a probabilidade de um evento ocorrer.
Exemplo 5.20
Paulo é um jovem empreendedor e quer abrir seu próprio negócio. Ele observou que o mercado de sandálias era lucrativo. Então resolveu abrir uma fábrica de sandálias. Devido a dificuldade financeira, resolveu comprar três máquinas de sandálias usadas. As informações anteriores sobre estas máquinas dadas pelo proprietário foram:
Máquina | Produto | Total da produção |
---|---|---|
M1 & Pantufas | 50% | 1% |
M2 | Sandálias baixas | 40% |
M3 | Sandálias de couro | 10% |
Surgiu as seguintes indagações:
- Do total de sandálias produzidas, qual a probabilidade de Paulo produzir uma sandália com defeito?
- Pensando em aumentar o lucro da fábrica, Paulo pensa e substituir uma das máquinas, qual seria sua decisão?
- Será que a máquina M1 que produz mais sandálias e consequentemente tem maior desgaste, deve ser trocada primeiro?
- Ou será que apesar da máquina M3 ter menor produção, é a que gera mais defeito por sandália, deve ser trocada primeiro?
Muitas vezes nos deparamos com situações em que antes da realização de algum experimento, temos alguma informação adicional. Queremos saber o quanto que essa informação pode afetar a medida de probabilidade. Assim, apresentamos a Definição 5.18, que define a probabilidade condicional, a seguir.
Definição 5.18: Probabilidade condicional
Baseado no problema de Paulo, denotemos o evento
Essa restrição do espaço amostral, pode nos questionar se de fato a probabilidade condicional, de fato, é uma medida de probabilidade. Para isso, apresentamos o Teorema 5.7, na sequência.
Teorema 5.7: é uma medida de probabilidade
Prova
Para verificarmos se
Axioma 1:
Axioma 2: como
é uma medida de probabilidade, entãoAxioma 3: Sejam dois eventos
e , disjuntos, então o que conclui a prova.
Como sequência de importantes resultados sobre propriedades da probabilidade, apresentamos o Teorema 5.8, que será importante para resultados muito utilizados na área aplicada, como o Teorema de Bayes, apresentado na sequência.
Teorema 5.8: Regra do produto de probabilidade
Prova
Antes de falarmos sobre o teorema da lei da probabilidade total, será interessante fazer a definição sobre a partição de
Definição 5.19: Partição de
Entretanto, para calcular a probabilidade de uma sandália está com defeito, isto é
Teorema 5.9: Teorema da probabilidade total
Prova
Retornando ao cálculo da probabilidade
Exemplo 5.21
Nesse momento, surge uma importante definição na Estatística e Probabilidade, que é a independência de eventos, apresentada na Definição 5.20. A ideia da independência é uma característica probabilística, e isto significa, que se dois eventos forem independentes, então a probabilidade de um evento ocorrer não é influenciado pela ocorrência ou não do outro evento. A implicância da pressuposição da independência em problemas práticos na estatística podem ser resolvidos de forma trivial, devido as técnicas probabilísticas serem resolvidas de forma mais facilmente.
Definição 5.20: Independência de dois eventos
Considere o espaço amostral
; , para ; , para .
É fácil mostrar que (I) implica em (II), (II) implica em (III), e (III) implica em (I).
A intuição para independência na Definição 5.20 fica justificada pelo fato de que
Entretanto, a independência entre dois eventos não implica em independência coletiva. Vejamos o Exemplo 5.22, a seguir.
Exemplo 5.22
Exemplo 5.23
Para uma definição mais geral sobre a independência de eventos, apresentamos a Definição 5.21, a seguir.
Definição 5.21: Independência de eventos
Paulo poderia indagar, se os eventos
Exemplo 5.24: Efeito de multiplicidade
Muitos procedimentos ou testes que se baseiam nesse tipo de problema usam como referência a taxa de erro por experimento, que representa a probabilidade de ao menos uma hipótese verdadeira ser rejeitada. Para isso, pensemos em
Para observarmos que isso é verdade, vamos simplificar para
Se considerássemos
Não aceitarmos a independência das comparações, podemos usar a desigualdade de Boole, Teorema 5.6 (
5.5 Teorema de Bayes
A grande questão agora é qual a máquina que Paulo deveria substituir com o propósito de aumentar seu lucro na empresa. A ideia será calcular
Teorema 5.10: Teorema de Bayes
Prova
Tal é a sua importância, que um dos ramos de estudo da inferência estatística é baseado nesse teorema. O Teorema de Bayes fornece uma atualização do conhecimento já existente
Com esse resultado, Paulo agora pode tomar uma decisão mais plausível, isto é, dado um defeito numa determinada sandália produzida na fábrica, qual a probabilidade desta ter sido produzida em cada uma das máquinas?
Devemos abrir uma discussão que ocorre muito frequente entre as Definições 5.10 e 5.20, isto é, eventos disjuntos e independência. Nas próprias definições, percebemos a distinção clara entre as características. A primeira se remete a eventos (conjuntos), e a segunda é uma condição probabilística dos eventos. Contudo, em determinados problemas ainda há muita confusão ao tentar resolvê-los. Assim, apresentemos o Teorema 5.11, a seguir.
Teorema 5.11: Eventos disjuntos e independentes
Prova
Caso esses eventos não tenham probabilidade
Exemplo 5.25: Adaptado de Morettin (2010)
Tipo sanguíneo | A | B | AB | O |
---|---|---|---|---|
Probabilidade de ter o tipo especificado | 0,2 | |||
Probabilidade de não ter o tipo especificado | 0,9 | 0,95 |
Calcular a probabilidade de que:
- um indivíduo, sorteado ao acaso nessa comunidade, tenha o tipo O;
- um indivíduo, sorteado ao acaso nessa comunidade, tenha o tipo A e tipo B ao mesmo tempo. Podemos afirmar, que estes são independentes?
- dois indivíduos, sorteados ao acaso nessa comunidade, tenham tipo A e tipo B, nessa ordem;
- um indivíduo, sorteado ao acaso nessa comunidade, não tenha o tipo B ou não tenha o tipo AB.
Vejamos que os tipos sanguíneos são mutuamente exclusivos e formam a partição do espaço amostral, uma vez que não existe outro tipo sanguineo além dos informados e que não há indivíduo com dois tipos sanguíneos. Assim,
Consideremos o evento A, os indivíduos da comunidade especificado do tipo sanguíneo A, tal que,
; o evento B, os indivíduos da comunidade especificado do tipo sanguíneo B, tal que, ; o evento , os indivíduos da comunidade especificado do tipo sanguíneo AB, tal que, ; o evento , os indivíduos da comunidade especificado do tipo sanguíneo O, tal que, . Desse modo, o espaço amostral é dado por , cujos elementos de devem estar apenas em um dos eventos anteriores, e que a união de todos os elementos desses formam o espaço amostral, logo esses eventos formam uma partição do espaço amostral (Definição 5.19). Observe também que os elementos não são equiprováveis, como mostrado na tabela de probabilidades na própria questão. Assim, ;Este ítem merece uma atenção. Como os eventos
e são multumente exclusivos, logo , e estes não são independentes pois nenhum tem probabilidade 0 (Teorema 5.11), logo e são eventos dependentes;Diferentemente do espaço amostral anterior, neste temos uma combinação de 16 possibilidades a cardinalidade de
, uma vez que temos 4 possibilidades para o primeiro indivíduo e mais 4 possibilidades para o segundo indivíduo, isto é, , , , , , , , , , , , , , , , . Uma vez determinada as probabilidades de especificação em indivíduos diferentes, a probabilidade de especificar o tipo sanguíneo A em um indivíduo da comunidade não interfere em nada na probabilidade de especificar o tipo sanguíneo de um outro indivíduo dessa mesma comunidade (Uma ressalva é válida, no sentido também que estamos desconsiderando indivíduos consanguíneos, isto é, com grau de parentesco). Assim, a probabilidade de especificar o tipo sanguíneo desses dois indivíduos simultaneamente é . De outro modo, temos que:Agora os eventos “não ter o tipo sanguíneo especificado” não implica que os eventos sejam mutuamente exclusivos pelo fato dos eventos “ter o tipo sanguíneo especificado” terem sido disjuntos. Veja, o evento não ter o tipo sanguínio AB e o evento não ter o tipo sanguíneo B, pode existir indivíduos comum a estes dois eventos, por exemplo, um indivíduo do tipo sanguíneo A ou O, e a probabilidade destes não é zero, logo, os eventos não ter o tipo sanguínio AB e não ter o tipo sanguíneo B não são disjuntos. Entretanto, esses eventos são independentes, pois a probabilidade de um evento não influencia na probabilidade do outro. Assim,
Vejamos o evento
Tipo sanguíneo | A | B | AB | O |
---|---|---|---|---|
Probabilidade de ter o tipo especificado | 0,20 | 0,10 | 0,05 | 0,65 |
Probabilidade de não ter o tipo especificado | 0,80 | 0,90 | 0,95 | 0,35 |
Vale a pena discutirmos sobre a independência nessa situação. Quan-do falamos na especificação do tipo sanguínio é fato que um mesmo elemento não pode ser especificado em dois ou mais tipos sanguíneo. Fica claro que os eventos A, AB, B e O, são disjuntos. Agora, será que a probabilidade de especificar, por exemplo, o tipo sanguíneo A, não interfere na probabilidade do tipo sanguíneo B, ou qualquer um outro tipo sanguíneo? Observe que uma vez especificado a probabilidade de um determinado tipo sanguíneo, por exemplo, tipo A, não haverá mais chances de ele ter o tipo sanguíneo B, logo a probabilidade de B ocorrer é 0. Assim, a condição de ter especificado o tipo sanguíneo A alterou a probabilidade de especificar o tipo sanguíneo B. Logo estes eventos são dependentes.
Podemos ainda expressar mais dois teoremas para complementar as afirmações feitas no Exemplo 5.25, e suas implicações em relação aos eventos serem independentes e eventos disjuntos. Inicialmente, apresentamos o Teorema 5.12 como uma implicância da independência de eventos, a seguir.
Podemos ainda expressar mais dois teoremas para complementar as afirmações feitas no Exemplo 5.25, e suas implicações em relação aos eventos serem independentes e eventos disjuntos. Inicialmente, apresentamos o Teorema 5.12 como uma implicância da independência de eventos, a seguir.
Teorema 5.12
Se A e B são eventos independentes, não vazio, definidos em
e também são independentes; e também são independentes; e também são independentes.
Prova
Por fim, o Teorema 5.13 apresenta uma implicância sobre eventos disjuntos, a seguir.
Teorema 5.13
Prova
Usando a Lei de Morgan
5.6 Variável Aleatória
Em estatística, avaliamos um experimento não pelos eventos em si, mas por uma função definida no espaço amostral, que associa o evento a um número real. Chamamos essa função de variável aleatória, denotada por uma letra maiúscula,
Alguns autores criticam o termo “variável aleatória”, já que a mesma é uma função. Como essa definição ficou conhecida com esse nome, seria um equívoco tentar renomeá-la, do qual é apresentada na Definição 5.22, a seguir.
Definição 5.22: Variável Aleatória
Consideramos
Exemplo 5.26
Para explicar a definição de uma variável aleatória será considerado o exemplo, no qual duas variedades de uma espécie
Se for considerado o número de variedades da espécie
Eventos ( |
|
---|---|
No Exemplo 5.26, criamos uma partição do espaço amostral (
Para o exemplo do experimento do sorteio das duas variedades, definindo-se
Definição 5.23: Realização de uma variável aleatória
Considerando ainda o Exemplo 5.26, os pontos de
Supondo que desejamos calcular a probabilidade de
Vamos observar que de modo equivalente iremos calcular a probabilidade do evento
Portanto, a partir de agora em diante, iremos calcular as probabilidades dos eventos a partir da variável aleatória. Para um mesmo espaço amostral, é possível associar outras variáveis aleatórias. No exemplo anterior considerado, poderíamos pensar em uma variável aleatória
Dessa forma, a distribuição de probabilidade pode ser vista como uma correspondência que associa as probabilidades aos valores de uma variável aleatória, que é função do espaço amostral, definida na próxima seção.
5.7 Distribuição de
Sabemos que uma variável aleatória
Definição 5.24: Distribuição de
Retornando ao Exemplo 5.26, apresentamos a distribuição de
Exemplo 5.27
Considerando que
5.8 Função de distribuição (FD ou FDA)
Para entendermos o comportamento estatístico de uma variável aleatória, temos que definir sua função de distribuição, em que são caracterizados por eventos da forma
Definição 5.25: Função de distribuição de
Para que não haja confusão sobre função de distribuição a qual está relacionada com a variável aleatória
Teorema 5.14: Propriedades da função de distribuição
Uma função de distribuição de uma variável aleatória
e ; é uma função não decrescente, isto é, sempre que , ; é contínua à direita, ou seja, para um número , .
Prova
- Aplicando a continuidade da probabilidade (Teorema 5.6,
). Observe que para , os eventos têm como o limite o conjunto vazio. Logo . Tomando , os eventos e, portanto ; - Note que
sempre que (Teorema 5.6, ). Logo as probabilidades satisfazem à desigualdade: Como e são arbitrários, concluímos que é não decrescente. - Seja
e considere uma sequência tal que , ou seja, os ’s se aproximam de pela direita ou por valores superiores a . Então, , e assim, . Como o resultado vale para qualquer , a propriedade está verificada.
5.9 Natureza das variáveis aleatórias
Se
5.9.1 Variável aleatória discreta
Formalmente, definimos
Definição 5.26: Variável Aleatória Discreta
Na realidade, dizer que os valores que a variável aleatória discreta assume em
Exemplo 5.28
Suponha que haja alguma chance de um bit transmitido de um canal digital com erro. Consideremos um bit com erro representado pela letra
5.9.1.1 Função de probabilidade (FP)
A probabilidade dos valores de
Dessa forma, podemos definir a função de probabilidade da variável aleatória discreta
Definição 5.27: Função de Probabilidade
Essa definição nos permite observar que para valores distintos de
De outra forma, definimos
Definição 5.28: Suporte de (v.a. discreta)
Isso significa que as realizações de
Exemplo 5.29
0 | 3/10 |
1 | 6/10 |
2 | 1/10 |
Dessa forma, o suporte de
A representação gráfica da função de probabilidade é dada por meio do gráfico de hastes ou bastão, para representar a discretização das realizações no suporte de
5.9.1.2 FDA para as variáveis aleatórias discretas
Anteriormente, afirmamos que a distribuição de
Definição 5.29: Função de distribuição de uma v.a. discreta
Essa função de distribuição tem a forma de escada sendo descontínua nos valores assumidos pela variável aleatória
Outro ponto importante é que
Exemplo 5.30
Considere um estudo hipotético do qual desejamos imunizar 1000 pessoas em uma comunidade rural da doença da COVID-19, por meio de uma determinada vacina. Supomos que sejam aplicados 5 doses em cada pessoa, em períodos espaçados, dessa vacina. A cada dose aplicada, as pessoas passam por uma série de avaliações para a verificar se adquiriu imunidade ou não. Caso se verifique a imunidade em uma determinada dose aplicada, esta pessoa não irá tomar a dose subsequente; caso contrário, seguirá tomando as doses subsequentes, até a 5ª dose. Os resultados completos, são apresentados a seguir.
Doses | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Frequência | 230 | 270 | 300 | 120 | 80 |
Considerando uma pessoa dessa comunidade sorteada ao acaso, poderíamos estar interessados em saber qual a probilidade dela ter recebido 2 doses? usando a ideia da probabilidade frequentista, a probabilidade desejada é de
Doses | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0,23 | 0,27 | 0,30 | 0,12 | 0,08 |
Pela função de distribuição, podemos responder, por exemplo, a chance de uma determinada pessoa dessa população ter tomado até duas doses, da seguinte forma:
Apesar da escolha de
Por fim, apresentamos a função de distribuição para todo
Além de mostrarmos o gráfico da FDA para um variável aleatória discreta, apresentamos as propriedades do Teorema 5.14 no Código R 5.2. Primeiro, na Figura Figura 5.9 verificamos a primeira propriedade do Teorema 5.14. Na Figura 5.10, conseguimos observar a segunda propriedade. Com a representação gráfica, fica mais fácil entender a implicância dos resultados encontrados no referido teorema. Observe na Figura 5.11 o porquê da
# Propriedade 1
showcdf(prop = 2)
# Propriedade 1
showcdf(prop = 3)
Uma característica interessante é que da distribuição de probabilidade obtemos a função de distribuição e vice-versa, do qual apresentamos a seguir.
Teorema 5.15: Relação entre e
Prova
Seja o suporte de
- supomos o conhecimento de
. Logo, ; - supomos o conhecimento de
, . Logo, , para .
5.9.2 Variável aleatória contínua
Observamos que seria muito restritivo definir apenas variáveis aleatórias cujo resultado da função assumisse apenas em um conjunto contável. Por isso, uma outra natureza de variável aleatória modela situações cuja função assume em um conjunto infinito não contável dos reais, do qual apresentamos na Definição 5.30.
Definição 5.30: Variável Aleatória Contínua
Existem diversos exemplos de variáveis aleatórias contínuas, tais como: a carga (
Agora, supomos que estipulássemos o tempo de execução de um algoritmo computacional para uma determinada atividade no intervalo
Considerando
Para qualquer intervalo que assumíssemos, o fato de existir infinitas realizações para
Considere
5.9.2.1 Função densidade de probabilidade (FDP)
Anteriormente, afirmamos que uma variável aleatória
Definição 5.31: Função densidade de probabilidade
Seja
para todo , e .
Podemos observar que a função densidade de probabilidade foi definida sem fazer referência a uma variável aleatória contínua. Apenas que satisfaça as duas condições apresentadas na Definição 5.31.
Exemplo 5.31
, pois , e é uma constante sempre positiva.Verificar se
.
Inicialmente vamos relembrar a derivada de uma função
Assim, se considerarmos
Vejamos o Exemplo 5.32, uma outra situação para determinarmos uma função densidade de probabilidade.
Exemplo 5.32
Com a Definição 5.31, podemos redefinir formalmente uma variável aleatória contínua.
Definição 5.32: Variável aleatória absolutamente contínua
A partir da Definição 5.32, usamos a notação para a FDP de
Exemplo 5.33
Definiremos a seguir uma FDA para o caso contínuo, já mencionado na Definição 5.32, expressão (5.51).
5.9.2.2 FDA para as variáveis aleatórias contínuas
Assim como no caso discreto, também apresentaremos a FDA para as variáveis aleatórias absolutamente contínuas.
Definição 5.33: Função de distribuição de uma variável aleatória contínua
Exemplo 5.34
Consideremos
Diante dessas informações, podemos determinar a distribuição de
Retornando a solução do problema inicial, temos que:
$48 $ horas | |||
logo,
Podemos representar graficamente as funções: FDP e FDA. Com a Definição 5.33, podemos retornar ao que falamos anteriormente, pelo seguinte teorema:
Teorema 5.16: Variável aleatória absolutamente contínua implica em variável aleatória contínua
Prova
Há casos patológicos, em que mesmo tendo uma variável aleatória contínua,
Da mesma forma como ocorre no caso discreto, também apresentamos o suporte de
Definição 5.34: Suporte de (v.a. contínua)
Diremos que integrar a função densidade de
A partir de uma função distribuição podemos obter uma função densidade, como também o contrário é válido, sendo apresentado no Teorema 5.17, a seguir.
Teorema 5.17: Relação entre e de uma variável aleatória contínua
Prova
Diferentemente do gráfico de
# Propriedade 2
showcdf(variable = 2, prop = 2)
5.10 Função quantil, Função de sobrevivência e função s-quantil
Outras funções são interessantes no contexto de variáveis aleatórias, principalmente quando as distribuições estiverem associados as estatísticas de testes de hipóteses, Capítulo 10. As funções apresentadas a seguir são: função quantil, função de sobrevivência e função s-quantil.
Definição 5.35: Função quantil
para todo
A expressão (5.56) é definida dessa forma devido a condição da
Exemplo 5.36
Nem sempre é possível determinar analiticamente uma função quantil de uma determinada variável aleatória, devido as limitações de uma forma fechada para a inversa de
Exemplo 5.37
Exercícios propostos
Exercício 5.1
Solução
Exercício 5.2
Exercício 5.3
Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos.
- Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas.
- Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é observado.
- Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces observadas.
- Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cada uma.
Solução
Consideremos
e , as faces superiores cara e coroa, respectivamente, para as moedas . Assim, o espaço amostral é dado por e ;Segue o resultado para o dado:
Dado | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
Resultado | Ímpar | Par | Ímpar | Par | Ímpar | Par |
Considerando que foi lançado duas vezes o dado, cada elemento é um par de resultados, e ainda, mesmo alguns resultados representando elementos iguais, como por exemplo, {(Par, Par)} = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), …}, no espaço amostral só teremos o elemento (Par, Par). Assim, o espaço amostral é dado por
- O espaço amostral para a somas das faces superiores de dois dados lançados é
, com cardinalidade ; - O espaço amostral para esse experimento aleatório, considerando
- pessoa do sexo feminino e - pessoa do sexo masculino, é: com cardinalidade .
Exercício 5.4
Duas pessoas
- Qual a probabilidade de
ganhar? - Qual a probabilidade de
ganhar?
Solução
- Vejamos, as chances de A ganhar:
Jogada | Situação | Probabilidade |
1ª | 3 moedas caras ou 3 coroas | |
3ª | A perder, B perder e A ganhar | $(3/4)^2 /4 $ |
5ª | A perder, B perder, A perder, B perder e A ganhar | |
Percebe-se que a sequência
- As chances de B ganhar são:
Jogada | Situação | Probabilidade |
2ª | A perder e B ganhar | |
4ª | A perder, B perder, A perder e B ganhar | |
6ª | A perder, B perder, A perder, B perder, A perder e B ganhar | |
A série pode ser expressa como:
Exercício 5.5
Uma Universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados esportistas. Temos ainda que 500 alunos são do curso de Administração noturno, 700 de Ciências contábeis noturno, 100 são esportistas e da Administração noturno e 200 são esportistas e da Ciências contábeis noturno. Qual a probabilidade de:
- Ser esportista;
- Ser esportista e aluno da Administração;
- Ser esportista ou aluno da Ciências contábeis;
- Não ser esportista nem aluno da Administração.
Solução
E - Evento ser Esportista, logo
;EA - Esportista e aluno da Administração, logo P(EA) = 100/10.000;
E - Evento ser esportista; C - Evento ser da C. Contábeis, logo,
.E - Evento ser esportista; A - Evento ser da administração, como
, logo .
Exercício 5.6
Solução
Exercício 5.7
Se
. . . . .
Solução
; ; ; ; .
Exercício 5.8
Se
; ; .
Solução
; , uma vez que , pois (já que ); ;
Exercício 5.9
Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:
- a soma ser menor que 4;
- a soma ser 9;
- o primeiro resultado ser maior que o segundo.
Solução
Dado 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Dado 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
A - Evento: soma ser menor que 4, logo
;B - Evento: soma ser 9, logo
C - Evento: o primeiro resultado ser maior que o segundo, logo
.
Exercício 5.10
Solução
Exercício 5.11
As probabilidades de três jogadores marcarem um pênalti são respectivamente:
- todos acertarem?
- apenas um acertar?
- todos errarem?
Solução
- Todos acertarem:
- Apenas um acertar:
- Todos errarem:
Exercício 5.12
Dois armários guardam as bolas de voleibol e basquete. O armário 1 tem três bolas de voleibol e 1 de basquete, enquanto o armário 2 tem 3 de voleibol e 2 de basquete. Escolhendo-se ao acaso um armário e, em seguida, uma de suas bolas, calcule a probabilidade dela ser:
- De voleibol, sabendo-se que o armário 1 foi escolhido;
- De basquete, sabendo-se que o armário 2 foi escolhido;
- De basquete.
Solução
Considerando os eventos
. .Essa questão nos remete uma atenção. O enunciado está desejando calcular a probabilidade de escolher um armário e em seguida uma de suas bolas, sendo esta de basquete. Como neste ítem não foi identificado qual armário seria o escolhido, vamos identificar o evento
que representa a escolha do armário 1, e o evento que representa a escolha do armário 2. Estes eventos são diferentes dos eventos e , respectivamente, pois estes últimos representam os eventos de escolher as bolas nestes respectivos armários e não a escolha do armário. Logo, a chance de escolhermos um dos armários é 50%, isto é, . Dessa forma, a probabilidade de escolhermos um armário e uma bola de basquete pode ser dada por:
Exercício 5.13
Solução
Seja
Exercício 5.14
A probabilidade de uma mulher está viva daqui a 30 anos é
- apenas o homem está vivo;
- somente a mulher está;
- ambos estarem vivos.
Solução
Considere o evento H - homem está vivo; e o evento M - mulher está viva. Assim,
; ; .
Exercício 5.15
Se
- A e B serem mutuamente exclusivos;
- A e B serem independentes.
Solução
. . Se e são independentes, então . Logo, que resulta em .
Exercício 5.16
Solução
Considerando que
Exercício 5.17
Solução
Exercício 5.18
Solução
Exercício 5.19
Numa certa população, a probabilidade de gostar de teatro é de 1/3, enquanto que a de gostar de cinema é 1/2. Determine a probabilidade de gostar de teatro e não de cinema, nos seguintes casos:
- Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos.
- Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes.
- Todos que gostam de teatro gostam de cinema.
- A probabilidade de gostar de teatro e de cinema é de 1/8.
- Dentre os que não gostam de cinema, a probabilidade de não gostar de teatro é de 3/4.
Solução
Seja T o evento de gostar de teatro, e B o evento de gostar de cinema. Assim, temos que
Como
, então . .Nesse caso,
, logo . Assim, . .Sabemos que
, e que , então . Sabemos também que
Exercício 5.20
![](figures/cap5/circuitos1.png]
Solução
Exercício 5.21
Solução
Exercício 5.22
Solução
Exercício 5.23
Considere
- a função de probabilidade de
; ; ; ; ;- qual é o valor da esperança matemática? E a mediana? E a moda?
Solução
5 | 7 | 8 | 20 | |
0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
Assim, temos que:
; ; ; ;- A esperança é calculada da seguinte forma:
a mediana é um número entre