9  Teoria da estimação

Exercícios propostos

Exercício 9.1

Um experimento objetivou detectar a tensão máxima necessária (em MPa) até o aparecimento de trincas em parabrisas de caminhões pesados de uma determinada marca, do qual verifiou-se a tensão máxima até o aparecimento numa amostra de 10 parabrisas, cujos valores são: \(9,02\); \(8,82\); \(7,63\); \(8,40\); \(9,29\); \(9,39\); \(7,79\); \(8,64\); \(7,37\); \(8,74\). Considerando que os dados têm distribuição normal, apresente um estimador intervalar para a média populacional \(\mu\) para a tensão máxima necessária (em MPa) até o aparecimento de trincas em parabrisas de caminhões pesados de uma determinada marca, com um nível de confiança de \(95\%\) de confiança.

Exercício 9.2

Considere \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_n\) uma amostra aleatória de uma população com distribuição exponencial de parâmero \(\lambda\), tal que sua função densidade de probabilidade é dada por: \[\begin{align*} f_X(x) & = \left\{\begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0, \\ 0 & \textrm{caso contrário,} \end{array}\right. \end{align*}\] em que \(\lambda > 0\). Determine um estimador para \(\lambda\) pelo método de máxima verossimilhança e pelo método dos momentos.

Exercício 9.3

Considere \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_n\) uma amostra aleatória de uma população com distribuição uniforme no intervalo \([0, \theta]\), tal que sua função densidade de probabilidade é dada por: \[\begin{align*} f_X(x) & = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\theta}, & 0 \leq x \leq \theta\\ 0 & \textrm{caso contrário.} \end{array}\right. \end{align*}\] Determine um estimador para \(\theta\) pelo método de máxima verossimilhança.

Exercício 9.4

Considere um experimento do qual se observa o desempenho de um sistema operacional implantado em uma determinada indústria de robótica. Foi verificado que o tempo de resposta (em milissegundos) de um comando do operador a uma determinada atividade usando esse sistema operacional, tem distribuição normal com desvio padrão de \(20\) milissegundos. Retirado uma amostra de tamanho \(n = 100\), com média de \(52,05\) milissegudos, determine um estimador intervalar para a média populacional do tempo de resposta do comando do operador a uma determinada atividade, para verificarmos o desempenho do sistema operacional implantado, com um nível de confiança de \(95\%\) de probabilidade.

Exercício 9.5

Considere duas máquinas que produzem peças, dos quais estamos avaliando a resistência à tensão dessas máquinas (MPa). Retirou-se uma amostra de 8 peças de cada máquina, e obtendo as seguintes resistências:

Máquina 1	161	147	162	161	154	136	142
Máquina 2	140	162	147	133	130	137	137

Considere que a resistência à tensão apresenta distribuição normal e que as variâncias populacionais são desconhecidas para os dados obtidos pelas duas máquinas, porém iguais, encontre um estimador intervalar para a diferença das médias dos dois grupos, com um nível de confiança de \(99\%\) de probabilidade.

Exercício 9.6

Verifique se o estimador de máxima verossimilhança de \(\hat{p} = \bar{Y}/ k\), de uma amostra aleatória \(Y_1\), \(Y_2\), \(\ldots\), \(Y_k\) de uma distribuição Binomial de parâmetros \(n\) (conhecido) e \(p\), é um estimador não viesado de \(p\). Verifique também se esse estimador é consistente.