10  Teoria da decisão

Exercícios propostos

Exercício 10.1

Um professor aplica um teste do tipo certo-errado com 10 questões. Queremos testar a hipótese de que o aluno está adivinhando. A hipótese nula é que o aluno acerta ao acaso as questões. A hipótese alternativa é que o aluno tem algum conhecimento. Sendo \(p\) a probabilidade (desconhecida) do aluno acertar cada questão, então a hipótese estatística de interesse pode ser dada como \(H_0: p = 1/2\). Como hipótese alternativa \(H_1: p > 1/2\), isto é, o aluno tem algum conhecimento para resolver as questões. Determine:

  1. A probabilidade do erro tipo I, supondo que adotamos a seguinte regra de decisão: o aluno não está adivinhando se acertar 8 ou mais questões.
  2. Qual seria a regra de decisão, se assumíssemos um nível de significância \(\alpha \leq 0,20\)?
Solução

  1. Vamos assumir que as questões são independentes e que a variável aleatória \(X\) denota o número de acertos entre as 10 questões. Portanto, \(X\) tem distribuição binomial com parâmetros \(n = 10\) e \(p\) desconhecido. Supondo que adotamos a seguinte regra de decisão: o aluno não está advinhando se acertar 8 ou mais questões. Isto equivale a \[\begin{align*} \textrm{Rejeitar } H_0 \textrm{ se } & X \geq 8. \end{align*}\] Dessa forma, a região crítica do teste é \(C_{\Upsilon} = \{X: X > 8\}\). É possível também que o aluno acerte 8 ou mais questões e esteja advinhando, isto é, podemos rejeitar \(H_0\) dado que ela é verdadeira. A probabilidade de que isso ocorra é: \[\begin{align*} P(X \geq 8|p = 1/2) & = \sum_{k = 8}^{10}(1/2)^{k}(1 - 1/2)^{10 - k} \approx 0,055. \end{align*}\]

  2. Agora, assumindo um \(\alpha \leq 0,2\), vamos observar os resutlados a seguir: \[\begin{align*} P(X \geq 6|p = 1/2) & = \sum_{k = 6}^{10}(1/2)^{k}(1 - 1/2)^{10 - k} \approx 0,3769531\\ P(X \geq 7|p = 1/2) & = \sum_{k = 7}^{10}(1/2)^{k}(1 - 1/2)^{10 - k} \approx 0,171875 \\ P(X \geq 8|p = 1/2) & = \sum_{k = 8}^{10}(1/2)^{k}(1 - 1/2)^{10 - k} \approx 0,0546875\\ P(X \geq 9|p = 1/2) & = \sum_{k = 9}^{10}(1/2)^{k}(1 - 1/2)^{10 - k} \approx 0,01074219\\ \end{align*}\] Neste caso, verificamos que assumir como tomada de decisão de que o aluno não está adivinhando se ele acertasse no mínimo 6 questões, cometeríamos um erro de 0,3769531, sendo acima do erro adotado (\(\alpha \leq 0,2\)). Portanto, a probabilidade mais próxima e abaixo de \(\alpha\), será adotar como decisão, “Rejeitar se \(X \geq 7\)”.

Exercício 10.2
Considere um experimento do qual se observa o desempenho de um sistema operacional implantado em uma determinada indústria de robótica. Foi verificado que o tempo de resposta (em milissegundos) de um comando do operador a uma determinada atividade usando esse sistema operacional, tem distribuição normal com desvio padrão de \(20\) milissegundos. Retirado uma amostra de tamanho \(n = 100\), com média de \(52,05\) ms. O fabricante nos informou que o tempo médio de resposta da máquina, devido ao sistema operacional, não ultrapassa \(50\) ms. Diante disso, use um teste de hipótese para verificar a informação do fabricante, ao nível de significância de \(5\%\) de probabilidade.

Exercício 10.3
Considere que a resistência à tensão apresenta distribuição normal e que as variâncias populacionais são desconhecidas para os dados obtidos pelas duas máquinas, porém iguais. Verifique por meio de um teste de hipóteses, se a resistência à tensão média da máquina 1 é superior a da máquina 2, ao nível de significância de \(10\%\) de probabilidade.

Exercício 10.4
Um estudo realizado sobre dois tipos de concreto para verificar a taxa de infiltração de água em sua estrutura foi realizado. Os dois tipos de concreto (C1 e C2) diferiam na porcentagem de material retido na peneira de abertura no processo de fabricação desses concretos, em que para fabricação de C1 os agregados retidos na peneira foram 100% de 6,3mm, ao passo que C2 os agregados retidos na peneira foram de 6,3mm (50%) e 4,75mm (50%). Um experimento (ensaio com carga variável) avaliou 40 corpos de provas desses dois tipos de concreto, e mediu a condutividade hidráulica (taxa de infiltração de água em \(cm/s\)), dos quais os dados são obtidos na tabela abaixo:

Concreto Amostra Média amostral (\(cm/s\)) Desvio padrão amostral (\(cm/s\))
C1 40 0,523 0,054
C2 40 0,641 0,061

Considerando que a condutividade hidráulica tem distribuição normal, verifique se há diferenças estatísticas entre as médias populacionais das condutividades hidráulicas desses dois tipos de concreto, ao nível de significância de \(10\%\) de probabilidade. Considere que as variâncias populacionais são homocedásticas.

Exercício 10.5

Um estudo realizado por Seker et al. (2002) avaliaram os efeitos da energia eletromagnética de celulares, no cérebro de ratos. O experimento foi conduzido in vivo, sob dois grupos de ratos, um primeiro grupo controle sem exposição da energia eletromagética provindo dos celulares, e outro grupo teste apresentando essa exposição. Algumas variáveis foram analisada, dentre as quais, a pressão sanguínea arterial desses ratos (\(mmHg\)), coletadas durante o experimento. Os resultados são apresentado na tabela abaixo:

Grupo Amostra Média amostral (\(mmHg\)) Desvio padrão amostral (\(mmHg\))
Teste  (Grupo 1) 9 115 10
Controle  (Grupo 2) 8 90 5

Dessa forma, indagamos:

  1. Podemos afirmar que os efeitos da energia eletromagnética expostos aos ratos, proveniente de celulares, podem ter elevado a pressão sanguínea arterial dos ratos? Considere a realização do testes usando os níveis de significância a 1% e 5% de probabilidade, e que a variável mensurada para ambos os grupos apresentam distribuição normal com variâncias desconhecidas e diferentes (heterocedasticidade).
  2. Determine o valor-p para o teste realidade no ítem anterior.
  3. Por meio de um intervalo de confiança, responda a indagação do ítem (a)
  4. Podemos afirmar que, em média, a pressão sanguínea do grupo teste é no mínimo \(16~mmHg\) maior do que a média do grupo controle, ao nível de significância de \(5\%\) de probabilidade, baseado nas mesmas suposições do ítem (a)?
  5. Como poderíamos responder responder o ítem (d) por meio de um intervalo de confiança?

Exercício 10.6
Baseado nos ítens (d) e (e) do Exercício Proposto 10.6, justifique o que levou a formular as hipóteses complementares desse problema.