1  Definições Gerais e Técnicas de Somatório

1.1 Introdução

Em todo processo produtivo do setor agropecuário constantemente se busca a melhoria da qualidade de seus produtos e serviços. Uma porção significativa deste esforço de melhoria da qualidade será comandada por profissionais das ciências agrárias, pois esses profissionais projetam e desenvolvem novos sistemas e processos de produção, sendo também aqueles que melhoram os sistemas de produção existentes.

Nas diferentes áreas das ciências agrárias frequentemente trabalha-se com um grande volume de dados, sendo necessário dar um tratamento matemático a esses dados. Assim surge a Ciência Estatística, pois seus métodos são uma importante ferramenta nessas atividades, porque eles proveem os profissionais envolvidos com métodos descritivos e analíticos, para lidar com a variabilidade nos dados observados.

Para o entendimento da Estatística se faz necessário que uma série de termos, definições e apresentação de alguns teoremas sejam apresentados e compreendidos. Assim, ao longo de todo o livro será realizado uma abordagem de todas essas informações, sem se estender ao rigor matemático, para que de forma prática a base necessária para o conhecimento da Estatística seja acessível a todos os níveis de aprendizagem dentro das ciências agrárias.

1.2 Definições Gerais

A seguir são apresentados alguns termos que serão empregados no decorrer deste livro.

1.2.1 Estatística

Estatística pode ser definida como sendo um conjunto de técnicas que permite: coletar, organizar, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento.

Exemplo 1.1 Seja uma área cultivada com algodão em que se mede a altura de vinte plantas.

  • Coleta:

    • 1ª planta: \(1,0\) m;

    • 2ª planta: \(1,5\) m;

    • 3ª planta: \(1,3\) m;

      \(\qquad\vdots\)

    • 20ª planta: \(0,8\) m.

  • Organização: Tabelas e gráficos.
  • Análise: Qual é a altura média?
  • Interpretação: Por que tão baixa (ou tão alta) essa altura média?

1.2.2 População

Um conjunto de elementos com pelo menos uma característica em comum é chamado de população. Corresponde, portanto, ao grande conjunto de dados que contém a característica que se deseja descrever.

Exemplo 1.2  

  • Plantas de uma determinada cultura;
  • Animais de um rebanho;
  • Árvores de um povoamento florestal;
  • Tratores de uma região produtora de grãos;
  • etc.

O tamanho da população, ou seja, o número de elementos que a compõem, é representado pela letra maiúscula “\(N\)”.

1.2.3 Censo

Um estudo envolvendo todos os elementos de uma população é denominado censo.

Exemplo 1.3  

  • Levantamento de dados referentes a situação sanitária do rebanho bovino leiteiro da região Sul de Minas Gerais;
  • Contagem do número de máquinas agrícolas nas propriedades rurais de uma determinada região;
  • Levantamento sócio-econômico das famílias de uma comunidade rural, de uma determinada região produtora de cana-de-açúcar;
  • etc.

1.2.4 Amostra

Em muitos casos na execução de uma pesquisa é impossível avaliar todos os elementos de uma população, isto por problemas de custo e/ou tempo. Quando este é o caso, conhece-se a população a partir do estudo de uma parte dela, chamada amostra. Assim amostra é um subconjunto de elementos que pertence a uma população.

Exemplo 1.4  

  • 30 plantas de uma determinada cultura;
  • 100 bovinos leiteiros da região sul de Minas Gerais;
  • 20 pés de café de uma lavoura;
  • 200 árvores de um povoamento florestal;
  • 15 tratores de uma região produtora de grãos;
  • etc.

O tamanho da amostra, isto é, o número de elementos que a compõem, é representado pela letra minúscula “\(n\)”.

1.2.5 Variável

Uma variável é a característica pela qual deseja-se que a população seja descrita. Pode assumir diferentes valores de elemento para elemento.

São usadas as seguintes notações para variável: \(X\), \(Y\), \(Z\), etc. (letras maiúsculas).

Exemplo 1.5  

  • \(X\): Peso, em kg, de bovinos da raça nelore.

As variáveis podem ser qualitativas ou quantitativas.

1.2.5.1 Variável Qualitativa

As variáveis qualitativas correspondem a atributos ou categorias. Subdivididas em:

  • Variável Qualitativa Nominal: Quando os atributos não são passíveis de ordenação.

Exemplo 1.6  

  • \(X\): Culturas predominantes numa região: milho, cana, soja, etc;
  • \(Y\): Atividades exercidas pelos produtores rurais de uma determinada região: pecuária leiteira, avicultura, suinocultura, produção de hortaliças, etc.
  • Variável Qualitativa Ordinal: Quando os atributos são passíveis de ordenação.

Exemplo 1.7  

  • \(X\): Graus de ataque de insetos numa lavoura: baixo, médio, alto;
  • \(Y\): Índice de tecnificação adotado pelos agricultores de uma determinada região: baixo, médio, alto;

1.2.5.2 Variável Quantitativa

As variáveis quantitativas correspondem a números resultantes de contagens ou medidas. Podem ser:

  • Variável Quantitativa Discreta: São próprias de dados de contagem, isto é, estão definidas em um conjunto enumerável de valores.

Exemplo 1.8  

  • \(X\): Número de ovos depositados por um inseto nas folhas de uma cultura: \(5\), \(3\), \(10\), etc;
  • \(Y\): Número de tratores nas propriedades rurais de uma região: \(1\), \(2\), \(0\), \(3\), \(1\), etc;
  • \(Z\): Número de animais infectados pela febre aftosa em fazendas leiteiras de uma região produtora de leite: \(4\), \(2\), \(6\), \(5\), etc.
  • Variável Quantitativa Contínua: São aquelas em que as realizações resultam de uma medida, e que podem assumir qualquer valor real dentro de um intervalo de valores.

Exemplo 1.9  

  • \(X\): Altura dos pés de algodão: 1,0 m; 1,5 m; 0,8 m; etc;
  • \(Y\): Pesos de bezerras da raça holandesa de uma fazenda produtora de leite: 32,0 kg; 28,0 kg; 26,0 kg; etc.

1.2.6 Dado

Dado é a realização de uma variável, ou seja, é o valor registrado para um elemento em particular. As notações utilizadas para o dado são: \(x\), \(y\), \(z\), etc. (letras minúsculas).

Exemplo 1.10 Considere a variável:

\(X\): Peso, em kg, de bovinos da raça nelore.

Pode-se ter, por exemplo, os seguintes dados:

  • \(x_1 = 322,0\) kg;
  • \(x_2 = 335,0\) kg;
  • \(x_3 = 318,0\) kg;
  • etc.

1.2.7 Divisão da Estatística

A Estatística pode ser dividida basicamente em duas partes:

  • Estatística Descritiva: É utilizada na fase inicial da análise, ou seja, quando se tem um primeiro contato com os dados, onde se objetiva tirar conclusões de modo informal e direto de características de interesse. Pode ser definida como sendo um conjunto de técnicas para descrever e resumir um conjunto de dados, sejam eles amostrais ou populacionais.
  • Inferência Estatística: É um conjunto de técnicas responsáveis pela análise e interpretação dos dados, obtidos a partir de uma amostra, que possibilita a extrapolação dos resultados para toda a população de interesse.

1.3 Técnicas de Somatório

Em estatística frequentemente trabalha-se com variáveis quantitativas, e nos próximos capítulos aparecerão diversas expressões que envolverão cálculos de somas, somas de termos ao quadrado, produtos de duas variáveis, e para isso é necessário uma simplificação da notação. Assim, é usual representar somas por um operador chamado somatório, que é representado pela letra grega sigma maiúscula (\(\Sigma\)).

Por exemplo, a soma: \[\begin{align*} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5, \end{align*}\] pode ser representada em notação de somatório da seguinte forma: \[\begin{align*} \sum_{i=1}^{5}x_i, \end{align*}\] ou seja, corresponde à soma dos termos \(x_i\) onde o índice \(i\) varia de \(1\) a \(5\).

1.3.1 Propriedades

Sejam \(X\), \(Y\) e \(Z\) variáveis quantitativas, e sejam \(a\) e \(b\) valores constantes. Assim o operador somatório apresenta as seguintes propriedades, dadas por:

  • \(\sum_{i=1}^{n}a=a+a+\ldots+a=n a\);
  • \(\sum_{i=1}^{n}ax_{i}=ax_{1}+ax_{2}+ \ldots +ax_{n}=a(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n})=a\sum_{i=1}^{n}x_i\);
  • \(\sum_{i=1}^{n}(a+bx_{i})=\sum_{i=1}^{n}a+\sum_{i=1}^{n}bx_{i}=na+b\sum_{i=1}^{n}x_i\);
  • \(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i}+z_{i})=\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}y_i+\sum_{i=1}^{n}z_i\);
  • \(x_1y_1+x_2y_2+ \ldots +x_ny_n=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\).

Exemplo 1.11 Sejam os seguintes conjuntos de dados: \[\begin{align*} X = \left\{ 1, 3, 2, 0 \right\} \textrm{ e } Y = \left\{ 0, 2, 2, 1 \right\}. \end{align*}\] Assim, pode-se obter os seguintes somatórios:

  • \(\sum_{i=1}^{4}x_i=x_1+x_2+x_3+x_4=1+3+2+0=6\);
  • \(\sum_{j=1}^{4}y_j=y_1+y_2+y_3+y_4=0+2+2+1=5\);
  • \(\sum_{i=2}^{4}x_i=x_2+x_3+x_4=3+2+0=5\);
  • \(\sum_{j=2}^{4}y_j=y_2+y_3+y_4=2+2+1=5\);
  • \(\sum_{i=1}^{4}x_{i}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1^2+3^2+2^2+0^2=14\);
  • \(\sum_{j=1}^{4}y_{j}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}=0^2+2^2+2^2+1^2=9\);
  • \(\left(\sum_{i=1}^{4}x_i \right)^2=6^2=36\);
  • \(\left(\sum_{j=1}^{4}y_j \right)^2=5^2=25\);
  • \(\sum_{i=1}^{4}4x_i=4\sum_{i=1}^{4}x_i=4(6)=24\);
  • \(\sum_{j=1}^{4}3y_j=3\sum_{j=1}^{4}y_j=3(5)=15\);
  • \(\sum_{i=1,j=1}^{n}x_iy_j=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4=1(0)+3(2)+2(2)+0(1)=10\);
  • \(\sum_{i=1,j=1}^{n}x_iy_j+\sum_{i=1}^{4}x_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{4}y_{i}^{2}=10+14+9=33\);
  • \(\bar{\text{x}}=\frac{\sum_{i=1}^{4}x_i}{n}=\frac{6}{4}=1,5\);
  • \(\bar{\text{y}}=\frac{\sum_{j=1}^{4}y_j}{n}=\frac{5}{4}=1,25\).

Exemplo 1.12 Expressando as seguintes somas usando notação de somatório, tem-se:

  1. \(y_1+y_2+y_3+\cdots+y_{15}=\sum_{i=1}^{15}y_i\);
  2. \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\);
  3. \(z_{1}^{1}+z_{3}^{2}+z_{5}^{3}+\cdots+z_{59}^{30}=\sum_{i=1}^{30}z_{2i-1}^{i}\);
  4. \(logx_1+logx_2+logx_3+\cdots+logx_{12}=\sum_{i=1}^{12}logx_i\);
  5. \((x_{1}-1)+(x_{2}^{2}-2^2)^2+(x_{3}^{3}-3^3)^3+\cdots+(x_{n}^{n}-n^n)^n=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{i}-i^i)^i\).

Exercícios propostos

Exercício 1.1 Apresente um exemplo para cada tipo de variável e inclua um possível valor (dado) para cada uma delas.

  1. Qualitativa nominal;
  2. Qualitativa ordinal;
  3. Quantitativa discreta;
  4. Quantitativa contínua.

Exercício 1.2 Considere as seguintes situações:

  1. Uma cooperativa agrícola deseja realizar uma pesquisa com o objetivo de caracterizar as propriedades de seus cooperados. Como forma de obter essas informações foram distribuídos questionários para todos os seus associados, por meio do qual procurou-se avaliar: o nível de tecnificação adotado (baixo, médio ou alto), a atividade predominante (café, milho, leite, etc.), o número de empregados em cada propriedade;
  2. Um pesquisador necessita obter algumas informações a respeito de uma determinada cultura no Sul de Minas Gerais. Para tanto visita 50 propriedades e faz uma avaliação referentes: ao tamanho da área plantada com a cultura (ha), a produção obtida (kg), as principais pragas e doenças.

Pergunta-se:

  1. Qual é a população em estudo;
  2. Em qual dos casos utilizou-se de uma amostra para realizar o estudo;
  3. Quais foram as variáveis estudadas em cada caso;
  4. Classifique as variáveis quanto a sua natureza.

Exercício 1.3 Sabendo-se que:

  • \(\sum_{i=1}^{4}x_i=16\);
  • \(\sum_{i=1}^{4}x_i^2=84\);
  • \(\sum_{i=1}^{4}x_i^3=496\);
  • \(\sum_{i=1}^{4}y_i=20\);
  • \(\sum_{i=1}^{4}x_{i}y_{i}=100\).

Determine o valor numérico das seguintes expressões:

  1. \(\sum_{i=1}^{4}\left(x_{i}^{3}-25 \right)\);
  2. \(\sum_{i=1}^{4}\left(3x_{i}-15 \right)^3\);
  3. \(\sum_{i=1}^{4}\left(6x_{i}+8 \right)^2\);
  4. \(\sum_{i=1}^{4}\left(12x_{i}-26 \right)\left(5y_{i}+10 \right)\).

Exercício 1.4 Em um estudo com a cultura da batata obteve-se os seguintes resultados:

\(\mathbf{X}\) \(\mathbf{Y}\)
0,5 10,0
1,0 14,0
1,5 15,0
2,0 18,0
2,5 20,0
3,0 22,0
3,5 22,0

Em que:

  • X é o nível de irrigação, em mm/dia;
  • Y é a produtividade, em t/ha.

Calcule:

  1. \(\sum_{i=1}^{7}x_i\);
  2. \(\sum_{i=1}^{7}y_i\);
  3. \(\sum_{i=1}^{7}x_{i}^{2}\);
  4. \(\sum_{i=1}^{7}y_{i}^{2}\);
  5. \(\left(\sum_{i=1}^{7}x_i \right)^2\);
  6. \(\left(\sum_{i=1}^{7}y_i\right)^2\);
  7. \(\sum_{i=1}^{7}x_{1}y_{i}\);
  8. \(\sum_{i=1}^{7}x_i\sum_{i=1}^{7}y_i\);
  9. \(\sum_{i=1}^{7}x_i+\sum_{i=1}^{7}y_i\);
  10. \(\sum_{i=1}^{7}\left(x_{i}+y_{i} \right)\).

Exercício 1.5 Prove algebricamente as seguintes igualdades:

  1. \(\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}- \bar{\text{x}} \right)=0\), onde: \(\bar{\text{x}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\);

  2. \(\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i- \bar{\text{x}} \right)^2}{n-1}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2}{n}}{n-1}\).