9 Teoria da Estimação

9.1 Introdução

Toda população é descrita por um certo modelo probabilístico \(f(x | \theta)\), com parâmetro(s) \(\theta\) desconhecido(s), e o interesse é obter algum tipo de informação acerca desse(s) parâmetro(s). O que se dispõe é de uma amostra, ou seja, de partes de elementos da população. A partir de uma amostra aleatória é possível obter aproximações numéricas para o(s) parâmetro(s) \(\theta\) do modelo, e esse processo é chamado estimação. Assim, um dos objetivos da Estatística é obter informações sobre os parâmetros populacionais através das estimativas amostrais.

9.2 Conceitos Básicos

Para formalizar as ideias que serão apresentadas alguns conceitos são úteis.

9.2.1 Parâmetro

Um parâmetro é um valor desconhecido associado a uma característica da população, e em geral representado por letras gregas.

Exemplo 9.1 A média \(\mu\) e a variância \(\sigma^2\) de uma população são parâmetros.

9.2.2 Estimador

O estimador é a função ou expressão algébrica que estima o valor de um parâmetro populacional, baseando-se nas observações de uma amostra aleatória.

Exemplo 9.2

\(\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\) é um estimador da média populacional \(\mu\);
\(s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2}{n}}{n-1}\) é um estimador da variância populacional \(\sigma^2\).

9.2.3 Estimativa

Uma estimativa é uma aproximação numérica para um parâmetro associado a um modelo probabilístico, ou seja, é o valor obtido pelo estimador numa determinada amostra aleatória.

Exemplo 9.3 Numa certa variedade de milho tem-se uma estimativa da altura média desta variedade, dada por:

\[ \bar{x}=200,0~\textrm{cm}. \]

9.3 Tipos de Estimativas

Basicamente existem dois processos de estimação. O primeiro deles é a chamada estimação pontual, pela qual um valor numérico é obtido através de um estimador, como sendo uma aproximação numérica para o parâmetro populacional.

Exemplo 9.4 Numa amostra aleatória de n elementos os valores de \(\bar{x}\) e \(s^2\) estimam \(\mu\) e \(\sigma^2\), respectivamente, por ponto.

Exemplo 9.5 Seja uma amostra de 40 plantas de uma variedade de milho, em que a variável altura, apresentou uma média de \(200,0\) cm e um desvio padrão de \(10,0\) cm.

Nesta amostra a média amostral, \(\bar{x}=200,0\) cm, é uma estimativa por ponto da média populacional \(\mu\), e o desvio padrão amostral, \(s = 10,0\) cm, é uma estimativa por ponto do desvio padrão populacional \(\sigma\).

O segundo processo de estimação é a estimação por intervalo, no qual algum tipo de intervalo é construído, de tal maneira que se possa atribuir probabilidades de que o valor real do parâmetro esteja ali contido. Neste caso, o parâmetro populacional é estimado por dois valores, obtidos através de cálculos com os dados amostrais, que formam um intervalo, dentro do qual se espera encontrar o verdadeiro valor do parâmetro. A vantagem desse processo é que mostra a precisão da estimativa.

Exemplo 9.6 Considerando o exemplo anterior tem-se que a expressão: \[ IC_{95,0\%}(\mu):~[196,90~\textrm{cm};~ 203,10~\textrm{cm}], \] é uma estimativa por intervalo para \(\mu\) com uma confiança de 95,0% e um erro de 3,10 cm.

Assim, a associação entre estimativas pontuais acerca de um parâmetro populacional, e o conhecimento de probabilidades de que o parâmetro esteja contido em certos intervalos, possibilitará, em geral, promover uma inferência informativa a respeito do parâmetro desconhecido.

9.4 Métodos de Estimação Pontual

Os métodos de obtenção de estimativas pontuais, os quais não serão discutidos em detalhes aqui, são:

Método dos Momentos;
Método dos Quadrados Mínimos;
Método da Máxima Verossimilhança.

9.5 Propriedades dos Estimadores Pontuais

Em função da existência de vários métodos para estimação de parâmetros, é importante analisar algumas propriedades dos estimadores, que possa auxiliar na escolha de um estimador para um parâmetro em particular. Essas propriedades são:

Vício: Um estimador \(\hat{\theta}\) de um parâmetro \(\theta\) é não viciado, ou não tendencioso, ou não viesado, se: \[ E(\hat{\theta})=\theta. \]

Exemplo 9.7 A média amostral, \(\bar{x} = \sum_{i = 1}^{n}x_i / n\), é um estimador não viciado da média populacional \(\mu\), pois pode-se provar que:

\[ E(\bar{x})=\mu. \]

Ou seja, um estimador é não viciado se o seu valor esperado coincide com o parâmetro de interesse.

Exemplo 9.8 A variância amostral, \(\hat{\sigma}^2 = \sum_{i = 1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 / n\), é um estimador viciado para \(\sigma^2\).

Pode ser demonstrado que:

\[ E(\hat{\sigma}^2)=\left(\frac{n-1}{n}\right) \sigma^2. \]

Por outro lado tem-se que: \[ E\left(\frac{n}{n-1}\hat{\sigma}^2\right)=\sigma^2 \] Note que:

\[ \left(\frac{n}{n-1}\hat{\sigma}^2\right)=\left(\frac{n}{n-1}\right)\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i- \bar{x} \right)^2}{n}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i- \bar{x} \right)^2=s^2. \]

Logo, \(s^2\) é um estimador não viciado para \(\sigma^2\).

Consistência: Um estimador \(\hat{\theta}\) é consistente se à medida que o tamanho n da amostra aumenta, seu valor esperado converge para o parâmetro de interesse, e sua variância converge para zero. Ou seja, \(\hat{\theta}\) é consistente se as duas propriedades são satisfeitas:

\(\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}) = \theta\);
\(\lim_{n \to \infty} V(\hat{\theta}) = 0\).

Eficiência: Dados dois estimadores \(\hat{\theta}_1\) e \(\hat{\theta}_2\), não viciados para um parâmetro \(\theta\), diz-se que \(\hat{\theta}_1\) é mais eficiente que \(\hat{\theta}_2\) se: \(V(\hat{\theta}_1)\) < \(V(\hat{\theta}_2)\). Isto é, dentre todos os estimadores não viciados de um parâmetro \(\theta\), aquele que tiver menor variância é o estimador mais eficiente de \(\theta\).

Exemplo 9.9 Numa amostra a média amostral \(\bar{x}\) é um estimador mais eficiente da média populacional \(\mu\) que a mediana \(md\), pois pode-se provar que: \[ V(\bar{x})=\frac{\sigma^2}{n}~\textrm{e}~ V(md)=\frac{\pi}{2}\times \frac{\sigma^2}{n}. \]

Logo \(V(\bar{\text{x}}) < V(md)\).

No caso de uma estimativa por intervalo, o comprimento do intervalo de confiança dá uma idéia da eficiência da estimativa.

9.6 Estimação por intervalo

Os estimadores pontuais fornecem como estimativa um único valor numérico para o parâmetro \(\theta\) de interesse, associado ao modelo probabilístico \(f(x | \theta)\). A inferência pode e deve ser complementada, sempre que possível, com pressuposições acerca de probabilidades de \(\theta\) estarem próximos ou não de suas estimativas pontuais. Por serem variáveis aleatórias, os estimadores possuem uma distribuição de probabilidade, e levando este fato em consideração, pode-se apresentar uma estimativa mais informativa para o parâmetro de interesse, que inclua uma medida de precisão do valor obtido. Este método de estimação, denominado estimação por intervalo, incorpora à estimativa pontual do parâmetro, informações a respeito de sua variabilidade, permitindo a construção de intervalos com probabilidades conhecidas de que o valor paramétrico esteja contido nesse intervalo.

Assim, intervalos de confiança são obtidos através da distribuição amostral de seus estimadores.

Seja \(x_1\), \(x_2\), \(\cdots\), \(x_n\) uma amostra aleatória coletada numa população descrita pelo modelo probabilístico \(f(x | \theta)\). Sejam \(T_1(x)\) e \(T_2(x)\) duas estatísticas que satisfaçam: \(T_1(x) < T_2(x)\), e também que: \(P[T_1(x) < \theta < T_2(x)]=1 - \alpha\).

O intervalo aleatório: \([T_1(x); T_2(x)]\) é chamado de intervalo de confiança para \(\theta\) com \((1 - \alpha)100,0\%\) de probabilidade. A probabilidade \((1 - \alpha)\) é chamada coeficiente de confiança do intervalo. O comprimento do intervalo de confiança é dado por: \[\begin{align*} L(x)=T_2(x) - T_1(x). \end{align*}\]

Logo, a construção de intervalos de confiança consiste na obtenção de \(T_1(x)\) e \(T_2(x)\).

9.7 Construção de Intervalos de Confiança

Basicamente os intervalos de confiança podem ser construídos utilizando a distribuição de quantidades pivotais.

Considere uma amostra aleatória \(x_1\), \(x_2\), \(\cdots\), \(x_n\) de uma população descrita pelo modelo probabilístico \(f(x | \theta)\). Uma função \(g(x; \theta)\), cuja distribuição não dependa de \(\theta\), é chamada de quantidade pivotal.

Exemplo 9.10 Considere um modelo probabilístico correspondente a uma distribuição normal de média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\). Seja, \[ Z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}. \]

Neste caso é \(Z\) uma quantidade pivotal, pois \(Z\) é uma variável aleatória com distribuição normal padronizada, ou seja, \(Z\sim N(0,0; 1,0)\), e não depende de \(\mu\) e \(\sigma^2\).

Nas próximas seções, serão utilizados as distribuições de probabilidades e resultados, vistos no Capítulo 8, para a construção de intervalos de confiança para parâmetros populacionais de interesse.

9.7.1 Intervalo de Confiança para a Média de uma Distribuição Normal

A média estimada a partir de uma amostra aleatória, é apenas uma estimativa por ponto da verdadeira média populacional \(\mu\). A média verdadeira é um parâmetro que na grande maioria das vezes é desconhecida. Entretanto, a partir do conhecimento das distribuições teóricas de \(Z\) e \(t\), pode-se construir um intervalo que deve conter a verdadeira média populacional \(\mu\).

Para a construção do intervalo de confiança para a média, tem-se as seguintes situações, descritas a seguir.

9.7.2 Grandes Amostras ou Variância Populacional Conhecida

O intervalo de confiança associado a um determinado nível de confiança, para a média populacional \(\mu\), quando se tem grandes amostras \((n\geq 30)\), ou variância populacional \(\sigma^2\) conhecida, pode ser deduzido da seguinte forma.

Foi visto no capítulo anterior de acordo com o teorema central do limite que: \[ \bar{\text{x}} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) \]

Logo, na distribuição de \(\bar{x}\) o valor de \(Z\) é obtido por: \[ Z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}, \tag{9.1}\] em que \(Z \sim N(0,0; 1,0)\).

Na distribuição de \(\bar{x}\) pode-se esquematizar uma probabilidade de \((1 - \alpha)\), conforme Figura 9.1.

Figura 9.1: Área correspondente a probabilidade \(P(-Z_{\alpha/2} < Z < Z_{\alpha/2})\).

Logo, \[ P\left[-Z_\frac{\alpha}{2} < Z < Z_\frac{\alpha}{2} \right]=1 - \alpha. \tag{9.2}\]

Substituindo (9.1) em (9.2), tem-se: \[ P\left[-Z_\frac{\alpha}{2} < \frac{\bar{\text{x}}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} < Z_\frac{\alpha}{2} \right]=1 - \alpha. \]

Multiplicando cada termo da desigualdade por: \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\), obtém-se: \[ P\left[-Z_\frac{\alpha}{2}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \bar{\text{x}}-\mu < Z_\frac{\alpha}{2}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]=1 - \alpha. \]

Subtraindo \(\bar{x}\) de cada termo da desigualdade a expressão fica: \[ P\left[-\bar{\text{x}}-Z_\frac{\alpha}{2}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < -\mu < -\bar{\text{x}}+Z_\frac{\alpha}{2}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]=1 - \alpha. \]

Multiplicando cada termo da desigualdade por (-1), tem-se: \[ P\left[\bar{\text{x}}+Z_\frac{\alpha}{2}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} > \mu > \bar{\text{x}}-Z_\frac{\alpha}{2}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]=1 - \alpha. \]

Invertendo os extremos do intervalo obtém-se a expressão (9.3), para a construção do intervalo de confiança para \(\mu\) com \((1 - \alpha)100,0\%\) de probabilidade. \[ P\left[\bar{x}-Z_\frac{\alpha}{2}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x}+Z_\frac{\alpha}{2}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]=1 - \alpha, \tag{9.3}\] em que:

\(\bar{x} \pm Z_\frac{\alpha}{2}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) são os limites de confiança;
\((1 - \alpha)100,0\%\) é o grau ou nível de confiança.

A representação gráfica de (9.3) pode ser observada na Figura 9.2.

Figura 9.2: Região do estimador intervalar para \(\mu\) de uma população normal.

Não conhecendo-se o valor de \(\sigma\) (desvio padrão populacional), pode-se usar o valor de \(s\) (desvio padrão amostral), desde que \(n\geq 30\).

Exemplo 9.11 Seja uma amostra de 40 plantas de uma variedade de milho, em que a variável altura, apresentou uma média de 200,0 cm e variância de 100,0 cm\(^2\). Construir um intervalo de confiança de 95,0% para a média populacional \(\mu\). Neste caso, não se conhece a variância populacional \(\sigma^2\), e sim, a variância amostral \(s^2\). Como o tamanho da amostra é n = 40, considera-se razoável a utilização do desvio padrão amostral. Para construir um intervalo de confiança de 95,0% para a média populacional \(\mu\), tem-se:

\(n=40\);
\(\bar{\text{x}}=200,0\) cm;
\(s^2=100,0\) cm\(^2 \Rightarrow s=\sqrt{100,0}=10,0\) cm;
\((1 - \alpha)=0,95 \Rightarrow \alpha=0,05 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=0,025\). \[ Z_\frac{\alpha}{2}=Z_{0,025}=? \]

Consultando a Tabela A 1, tem-se que o valor de Z que deixa uma probabilidade acima dele de 0,025 é igual a 1,96. Dentro do corpo da tabela consulta-se o valor referente a 0,025, conforme esquema abaixo.

Logo, \[ Z_{0,025}=1,96. \]

Através da expressão (9.3), tem-se que: \[ 200,0-1,96\frac{10}{\sqrt{40}} < \mu < 200,0+1,96\frac{10}{\sqrt{40}} \] \[ 200,0 - 3,10 < \mu < 200,0 + 3,10 \] \[ \Rightarrow IC_{0,95}(\mu): [196,90~\textrm{cm}; 203,10~\textrm{cm}]. \]

Esse resultado mostra que é de 95,0% a confiança, da verdadeira altura média das plantas de milho estar entre 196,90 e 203,10 cm. Do ponto de vista de amostragem isto quer dizer que, se forem retiradas várias amostras aleatórias dentro desta população, calculando-se os valores de \(\bar{x}\) e \(s\) para cada amostra, e construindo o intervalo de confiança para \(\mu\) em cada amostra, 95,0% dos intervalos conterão em seu interior o verdadeiro valor da média populacional \(\mu\).

Exemplo 9.12 Considerando o Exemplo 9.11, construir um intervalo de confiança de 99,0% para a média populacional \(\mu\).

Assim, tem-se: \[ (1 - \alpha)=0,99 \Rightarrow \alpha=0,01 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=0,005. \] \[ Z_\frac{\alpha}{2}=Z_{0,005}=? \]

Consultando a Tabela A 1, o valor de Z que deixa uma probabilidade acima dele de 0,005 (média de 0,0051 e 0,0049) é igual a 2,575 ( média de 2,57 e 2,58). Dentro do corpo da tabela consulta-se o valor referente a 0,005 ou mais próximo, conforme esquema abaixo:

Logo, \[ Z_{0,005}=2,575. \] Através da expressão (9.3), tem-se que: \[ 200,0-2,575\frac{10}{\sqrt{40}} < \mu < 200,0+2,575\frac{10}{\sqrt{40}} \] \[ 200,0 - 4,07 < \mu < 200,0 + 4,07 \] \[ \Rightarrow IC_{0,99}(\mu): [195,93~\textrm{cm}; 204,07~\textrm{cm}]. \]

Esse resultado mostra que é de 99,0% a confiança, da verdadeira altura média das plantas de milho estar entre 195,93 e 204,07 cm.

O erro da estimativa é dado pela expressão (9.4). \[ e=\bar{\text{x}} - \mu. \tag{9.4}\]

O erro máximo da estimativa na construção do intervalo de confiança é dado pela expressão (9.5). \[ e=Z_\frac{\alpha}{2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}. \tag{9.5}\]

Exemplo 9.13 Nos Exemplos 9.11 e 9.12, tem-se que:

\(\alpha=5,0\%=0,05 \Rightarrow e=3,10\) cm, ou seja, com 95,0% de confiança, a média, \(\bar{\text{x}}=200,0\) cm, estima a média populacional \(\mu\) com um erro máximo de 3,10 cm;
\(\alpha=1,0\%=0,01 \Rightarrow e=4,07\) cm, ou seja, com 99,0% de confiança, a média, \(\bar{\text{x}}=200,0\) cm, estima a média populacional \(\mu\) com um erro máximo de 4,07 cm.

As consequências da redução de \(\alpha\) são: - O coeficiente de confiança \((1 - \alpha)100,0\%\) aumenta: \[ 95,0\% \Rightarrow 99,0\%. \]

O erro da estimativa aumenta:

\[ 3,10~\textrm{cm}~\Rightarrow~4,07~\textrm{cm}. \]

O comprimento do intervalo de confiança aumenta: \[ [196,9~\textrm{cm};~203,10~\textrm{cm}]~\Rightarrow~ [195,93~\textrm{cm};~204,07~\textrm{cm}]. \]

Tem-se que, a única forma de aumentar a confiança e reduzir o comprimento do intervalo, simultaneamente, é aumentando o tamanho da amostra.

A partir do intervalo de confiança para a média \(\mu\), pode-se dimensionar o tamanho da amostra estatisticamente para estimar a média \(\mu\).

Na abordagem estatística considerada para determinar o tamanho da amostra, o nível de precisão e o erro da estimativa são especificados antecipadamente.

A expressão do erro máximo é dada por. \[ e=Z_\frac{\alpha}{2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}. \tag{9.6}\]

Isolando \(n\) em (9.6), obtém-se a expressão (9.7) para dimensionar o tamanho da amostra estatisticamente. \[ n=\left(\frac{Z_\frac{\alpha}{2}\sigma}{e} \right)^2. \tag{9.7}\]

Exemplo 9.14 No Exemplo 9.11, tem-se que:

n=40;
\(\bar{\text{x}}=200,0\) cm;
\(s=10,0\) cm;
\(\alpha=5,0\%=0,05\);
\(e=3,10\) cm.

Quantas plantas deverão ser examinadas num próximo estudo, para estimar \(\mu\) com um erro de 2,8 cm e uma confiança de 95,0%?

Neste caso, tem-se que:

\(e=2,8\) cm;
\(\alpha=0,05 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=0,025\);
\(Z_{0,025}=1,96\).

Logo, através da expressão (9.7), tem-se que:

\[ n=\left(\frac{1,96(10,0)}{2,8}\right)^2=49~\textrm{plantas}. \]

9.7.2.1 Pequenas Amostras e Variância Populacional Desconhecida

Geralmente não se conhece o valor da variância populacional \(\sigma^2\). Foi visto que a variância populacional \(\sigma^2\) pode ser estimada a partir da variância amostral \(s^2\). Assim, é possível construir um intervalo de confiança de \((1 – \alpha)100,0\%\) para a média populacional \(\mu\), utilizando a distribuição \(t\) em lugar de \(Z\). Deste modo, é possível obter o intervalo de confiança para pequenas amostras, \((n < 30)\), quando somente a variância amostral \(s^2\) é conhecida.

Nesse caso, utiliza-se da distribuição da variável \(t\), dada por: \[ t=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}, \tag{9.8}\] em que \(t\) segue uma distribuição \(t-Student\) com \(\nu = n – 1\) graus de liberdade.

O intervalo de confiança para \(\mu\) com nível de confiança de \((1 – \alpha)100,0\%\), é dado pela expressão (9.9).

\[ P\left[\bar{x}-t_{\left(\nu;\frac{\alpha}{2} \right)} \frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x}+t_{\left(\nu;\frac{\alpha}{2} \right)} \frac{s}{\sqrt{n}} \right]=1 - \alpha. \tag{9.9}\]

O erro máximo da estimativa é dado por: \[ e=t_{\left(v;\frac{\alpha}{2} \right)} \frac{s}{\sqrt{n}} \]

O tamanho da amostra para estimar a média é obtido pela expressão (9.10). \[ n=\left(\frac{t_{\left(v;\frac{\alpha}{2} \right)}s}{e} \right)^2. \tag{9.10}\]

Exemplo 9.15 Seja uma amostra de 20 árvores, de uma espécie de Eucalipto pertencente a um povoamento florestal, em que a variável DAP (diâmetro à altura do peito) apresentou uma média de 18,0 cm e um desvio padrão de 2,5 cm. Construir um intervalo de confiança de 95,0% para a média populacional \(\mu\).

Neste caso, tem-se:

\(n=20 \Rightarrow v=n-1=20-1=19\) graus de liberdade;
\(\bar{x}=18,0\) cm;
\(s=2,5\) cm;
\((1 - \alpha)=0,95 \Rightarrow \alpha=0,05 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=0,025\).

\[ t_{\left(v;\frac{\alpha}{2} \right)}=t_{\left(19;0,025\right)}=? \]

Consultando a Tabela A 3, tem-se que o valor de \(t\) que deixa uma probabilidade acima dele de 2,5% com 19 graus de liberdade é igual a 2,0930, conforme esquema abaixo:

Logo, \[ t_{\left(19;0,025\right)}=2,0930. \]

Através da expressão (9.9), tem-se que: \[ 18,0-2,0930\frac{2,5}{\sqrt{20}} < \mu < 18,0+2,0930\frac{2,5}{\sqrt{20}} \] \[ 18,0 - 1,17 < \mu < 18,0 + 1,17 \]

\[ \Rightarrow IC_{0,95}(\mu):~[16,83~\textrm{cm};~ 19,17~\textrm{cm}]. \]

Esse resultado mostra que é de 95,0% a confiança, do verdadeiro DAP médio das árvores de Eucalipto estar entre 16,83 e 19,17 cm. Do ponto de vista de amostragem isto quer dizer que, se forem retiradas várias amostras aleatórias dentro desta população, calculando-se os valores de \(\bar{\text{x}}\) e \(s\) para cada amostra, e construindo o intervalo de confiança para \(\mu\) em cada amostra, 95,0% dos intervalos conterão em seu interior o verdadeiro valor da média populacional \(\mu\).

9.7.3 Intervalo de Confiança para a Diferença entre duas Médias Independentes

A diferença de médias amostrais, \(\bar{x}_1-\bar{x}_2\), estima a diferença de médias populacionais, \(\mu_1 - \mu_2\), por ponto. A partir do conhecimento das distribuições teóricas \(Z\) e \(t\), pode-se construir um intervalo de confiança de \((1 – \alpha)100,0\%\) para a diferença de médias \(\mu_1 - \mu_2\).

Para a construção do intervalo de confiança para a diferença entre duas médias independentes, tem-se as seguintes situações, descritas a seguir.

9.7.3.1 Grandes Amostras ou Variâncias Populacionais Conhecidas

O intervalo de confiança associado a um determinado nível de confiança, para a diferença entre duas médias, \(\mu_1 - \mu_2\), quando se tem grandes amostras, \(n_1\) e \(n_2 \geq 30\), ou variâncias populacionais, \(\sigma_{1}^2\) e \(\sigma_{2}^2\), conhecidas, é dado pela expressão (9.11).

\[ P\left[(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})-Z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_1}+\frac{\sigma_{2}^2}{n_2}} < (\mu_1 - \mu_2) <\right. \] \[ \left.(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})+Z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_1}+\frac{\sigma_{2}^2}{n_2}}\right]=1 - \alpha. \tag{9.11}\]

Não se conhecendo \(\sigma_{1}^2\) e \(\sigma_{2}^2\) pode-se usar \(s_{1}^2\) e \(s_{2}^2\), desde que \(n_1\) e \(n_2 \geq 30\).

Exemplo 9.16 Sejam:

\(X_1:\) Peso de suínos da raça 1, em kg; \(X_2:\) Peso de suínos da raça 2, em kg. Em que: \(X_1 \sim N(\mu_1; 166,0)\) \(X_2 \sim N(\mu_2; 127,0)\)

Se da população de suínos da raça 1 e da raça 2, são retiradas amostras de tamanhos: \(n_1 = 10\) e \(n_2 = 11\), respectivamente, obtendo-se: \(\bar{x}_{1}=110,0\) kg e \(\bar{x}_{2}=107,0\) kg. Construir um intervalo com 95,0% de confiança para a diferença de médias das duas raças.

Tem-se então que:

\(\sigma_{1}^2=166,0\) Kg\(^2\) e \(\sigma_{2}^2=127,0\) Kg\(^2\);
\(({\bar{\text{x}}_1-\bar{\text{x}_2}})=110,0 - 107,0 = 3,0\) kg \(\Rightarrow\) estimativa por ponto de \((\mu_1 - \mu_2)\);
\((1 - \alpha)=0,95 \Rightarrow \alpha=0,05 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=0,025 \Rightarrow Z_{0,025}=1,96\) (Tabela A 1).

Através da expressão (9.11), tem-se que:

\[ 3,0-1,96\sqrt{\frac{166,0}{10}+\frac{127,0}{11}} < (\mu_1 - \mu_2) < \] \[ 3,0+1,96\sqrt{\frac{166,0}{10}+\frac{127,0}{11}} \]

\[ 3,0-10,4 < (\mu_1 - \mu_2) < 3,0+10,4. \]

Logo,

\(\Rightarrow IC_{0,95}(\mu_1 - \mu_2)\):[-7,4 kg; 13,4 kg].

Esse resultado mostra que é de 95,0% a confiança, da verdadeira diferença dos pesos médios entre as duas raças de suínos estar entre -7,4 e 13,4 kg. Como o intervalo de confiança abrange o zero, pode-se concluir que o peso médio da raça 1 não difere do peso médio raça 2. Caso o intervalo de confiança não tivesse abrangido o zero, concluiria-se que as médias difeririam entre si.

9.7.3.2 Pequenas Amostras e Variâncias Populacionais Desconhecidas

O intervalo de confiança associado a um determinado nível de confiança, para a diferença entre duas médias, \(\mu_1 - \mu_2\), quando se tem pequenas amostras, \(n_1 < 30\) e \(n_2 < 30\), e variâncias populacionais, \(\sigma_{1}^2\) e \(\sigma_{2}^2\), desconhecidas, pode ser determinado considerando as seguintes situações:

Variâncias Populacionais Iguais: Neste caso, para saber se as variâncias populacionais, \(\sigma_{1}^2\) e \(\sigma_{2}^2\), são iguais, deve-se fazer primeiro o Teste F, o qual será visto com detalhes no Capítulo 10.

Dessa forma, um intervalo de confiança de \((1 - \alpha)100,0\%\), para a diferença de médias, \(\mu_1 - \mu_2\), pode ser construído utilizando a distribuição \(t\), e é dado pela expressão (9.12).

\[ P\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-t_{\left(v;\frac{\alpha}{2}\right)}\sqrt{s_{p}^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)} < (\mu_1 - \mu_2) < \right. \] \[ \left.(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-t_{\left(v;\frac{\alpha}{2}\right)}\sqrt{s_{p}^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)} \right]=1 - \alpha, \tag{9.12}\]

em que:

\(s_{p}^2=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^2+(n_{2}-1)s_{2}^2}{n_{1}+n_{2}-2}\) (variância ponderada);
\(t_{\left(\nu; \frac{\alpha}{2}\right)}\) é o valor tabelado de \(t\), para: \(\nu=n_{1}+n_{2} -2\) graus de liberdade, que deixa uma probabilidade acima dele de \(\frac{\alpha}{2}\).

Exemplo 9.17

Sejam: \(X_1:\) Peso de suínos da raça 1, em kg; \(X_2:\) Peso de suínos da raça 2, em kg.

Se da população de suínos da raça 1 e da raça 2, são retiradas amostras de tamanhos: \(n_1 = 10\) e \(n_2 = 11\), respectivamente, obtendo-se: \(\bar{x}_{1}=112,0\) kg e \(s_{1}^2=156,0\) kg\(^2\); \(\bar{x}_{2}=105,0\) kg e \(s_{2}^2=165,0\) kg\(^2\).

Considerando que, \(\sigma_{1}^2\) e \(\sigma_{2}^2\) são iguais, construir um intervalo de confiança de 95,0% de confiança para a diferença de médias das duas raças.

Tem-se então que:

\(({\bar{\text{x}}_1-\bar{\text{x}_2}})=112,0 - 105,0 = 7,0\) kg \(\Rightarrow\) estimativa por ponto de \((\mu_1 - \mu_2)\);
\((1 - \alpha)=0,95 \Rightarrow \alpha=0,05 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=0,025\);
\(s_{p}^2=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^2+(n_{2}-1)s_{2}^2}{n_{1}+n_{2}-2}=\frac{(10-1)156,0+(11-1)165,0}{10+11-2}=160,74\) kg\(^2\);
\(v=n_{1}+n_{2} -2=10+11-2=19\) graus de liberdade.

Consultando a Tabela A 3, tem-se que o valor de \(t\) que deixa uma probabilidade acima dele de 2,5% com 19 graus de liberdade é igual a 2,0930.

Logo, \(t_{\left(v;\frac{\alpha}{2}\right)}=t_{\left(19; 0,025\right)}=2,0930\).

Através da expressão (9.12), tem-se que:

\[ 7,0-2,0930\sqrt{160,74\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{11} \right)} < (\mu_1 - \mu_2) < \] \[ 7,0+2,0930\sqrt{160,74\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{11} \right)} \]

\[ 7,0-11,60 < (\mu_1 - \mu_2) < 7,0+11,60. \]

Logo, \(\Rightarrow IC_{0,95}(\mu_1 - \mu_2)\):[-4,60 kg; 18,60 kg].

Esse resultado mostra que é de 95,0% a confiança, da verdadeira diferença dos pesos médios entre as duas raças de suínos estar entre -4,60 e 18,60 kg. Pode-se concluir que, as duas raças de suínos não diferem entre si com relação ao peso médio, pois o intervalo de confiança abrange o zero.

Variâncias Populacionais Diferentes:

Neste caso, também deve-se fazer primeiro o Teste F para verificar se as variâncias são diferentes.

O intervalo de confiança de \((1 - \alpha)100,0\%\), para a diferença de médias, \(\mu_1 - \mu_2\), é dado pela expressão 9.13. \[ P\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-t_{\left(v;\frac{\alpha}{2}\right)}\sqrt{\left(\frac{s_{1}^2}{n_1}+\frac{s_{2}^2}{n_2}\right)} < (\mu_1 - \mu_2) < \right. \] \[ \left.(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-t_{\left(v;\frac{\alpha}{2}\right)}\sqrt{\left(\frac{s_{1}^2}{n_1}+\frac{s_{2}^2}{n_2}\right)} \right]=1 - \alpha, \tag{9.13}\] em que: \(t_{\left(\nu; \frac{\alpha}{2}\right)}\) é o valor tabelado de \(t\) com \(\nu\) graus de liberdade que deixa uma probabilidade acima dele de \(\frac{\alpha}{2}\), sendo “\(\nu\)” dado pela expressão (9.14).

\[ \nu=\frac{\left(\frac{s_{1}^2}{n_1}+\frac{s_{2}^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_{1}^2}{n_1}\right)^2}{n_{1}-1}+\frac{\left(\frac{s_{2}^2}{n_2}\right)^2}{n_{2}-1}}, \tag{9.14}\] conhecida como Fórmula de Satterthwaite.

Exemplo 9.18 Considerando o Exemplo 9.17, e supondo que \(\sigma_{1}^2\) e \(\sigma_{2}^2\) sejam estatisticamente diferentes, construir um intervalo de confiança de 95,0% de confiança para a diferença de médias das duas raças.

Assim, tem-se que:

\(({\bar{\text{x}}_1-\bar{\text{x}_2}})=112,0 - 105,0 = 7,0\) kg \(\Rightarrow\) estimativa por ponto de \((\mu_1 - \mu_2)\);
\((1 - \alpha)=0,95 \Rightarrow \alpha=0,05 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=0,025\);
\(\nu=\frac{\left(\frac{156,0}{10}+\frac{165,0}{11}\right)^2}{\frac{\left(\frac{156,0}{10}\right)^2}{10-1}+\frac{\left(\frac{165,0}{11}\right)^2}{11-1}}=19\) graus de liberdade.

Consultando a Tabela A 3, tem-se que o valor de \(t\) que deixa uma probabilidade acima dele de 2,5% com 19 graus de liberdade é igual a 2,0930. Logo, \(t_{\left(v;\frac{\alpha}{2}\right)}=t_{(19; 0,025)}=2,0930\).

Através de (9.13), tem-se que:

\[ 7,0-2,0930\sqrt{\left(\frac{156,0}{10}+\frac{165,0}{11} \right)} < (\mu_1 - \mu_2) < \] \[ 7,0+2,0930\sqrt{\left(\frac{156,0}{10}+\frac{165,0}{11} \right)} \]

Logo, \(\Rightarrow IC_{0,95}(\mu_1 - \mu_2)\):[-4,58 kg; 18,58 kg].

Esse resultado mostra que é de 95,0% a confiança, da verdadeira diferença dos pesos médios entre as duas raças de suínos estar entre -4,58 e 18,58 kg. Pode-se concluir que, as duas raças de suínos não diferem entre si com relação ao peso médio, pois o intervalo de confiança abrange o zero. Considere a Tabela 9.1.

9.7.4 Intervalo de Confiança para a Média em Amostras Dependentes

A análise em amostras dependentes é apropriada quando a variável é medida antes e depois, por exemplo, peso de suínos antes e depois de serem submetidos a uma dieta com uma ração especial.